Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan bir cisme uygulanan kuvvetin yola bağlı değişim grafiği şekildeki gibidir. Cismin $0-x_0$ aralığında kazandığı kinetik enerji $E_k$ ise, $0-2x_0$ aralığında kazandığı kinetik enerji kaç $E_k$ olur?
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir cisme uygulanan kuvvetin yola bağlı değişim grafiği verilmiş ve belirli aralıklarda kazanılan kinetik enerjiler arasındaki ilişki soruluyor. Bu tür soruları çözerken İş-Enerji Teoremi'ni ve kuvvet-yol grafiğinin altında kalan alanın fiziksel anlamını kullanacağız.
-
1. İş-Enerji Teoremini Hatırlayalım: Bir cisim üzerinde yapılan net iş, cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Yani, $W_{net} = \Delta E_k$. Soruda cismin sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olduğu belirtiliyor. Bu durumda başlangıç kinetik enerjisi sıfırdır ($E_{k,ilk} = 0$). Dolayısıyla, yapılan net iş doğrudan kazanılan kinetik enerjiye eşit olacaktır: $W_{net} = E_{k,son}$.
-
2. Kuvvet-Yol Grafiğinden İş Hesaplama: Kuvvet-yol ($F-x$) grafiğinin altında kalan alan, kuvvetin yaptığı işi verir. Bu alanları geometrik şekillerin alan formüllerini kullanarak hesaplayabiliriz.
-
3. $0-x_0$ Aralığında Kazanılan Kinetik Enerjiyi Bulalım:
- Grafiğe baktığımızda, $0-x_0$ aralığında kuvvetin yaptığı iş, bir üçgenin alanına karşılık gelir.
- Bu üçgenin tabanı $x_0$, yüksekliği ise $F_0$'dır.
- Bu aralıktaki iş $W_{0-x_0} = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} F_0 x_0$ olur.
- Soruda, bu aralıkta kazanılan kinetik enerjinin $E_k$ olduğu belirtilmiştir. O halde, $E_k = \frac{1}{2} F_0 x_0$ diyebiliriz. Bu ifadeyi aklımızda tutalım.
-
4. $x_0-2x_0$ Aralığında Yapılan İşi Bulalım:
- Grafiğe göre, $x_0-2x_0$ aralığında kuvvetin yaptığı iş, bir dikdörtgenin alanına karşılık gelir.
- Bu dikdörtgenin genişliği $(2x_0 - x_0) = x_0$, yüksekliği ise $F_0$'dır.
- Bu aralıktaki iş $W_{x_0-2x_0} = \text{genişlik} \times \text{yükseklik} = F_0 x_0$ olur.
-
5. $0-2x_0$ Aralığında Kazanılan Toplam Kinetik Enerjiyi Bulalım:
- $0-2x_0$ aralığında yapılan toplam iş, $0-x_0$ aralığındaki iş ile $x_0-2x_0$ aralığındaki işin toplamıdır.
- $W_{0-2x_0} = W_{0-x_0} + W_{x_0-2x_0}$
- $W_{0-2x_0} = \frac{1}{2} F_0 x_0 + F_0 x_0$
- Ortak paydada toplarsak: $W_{0-2x_0} = \frac{1}{2} F_0 x_0 + \frac{2}{2} F_0 x_0 = \frac{3}{2} F_0 x_0$.
- Bu toplam iş, $0-2x_0$ aralığında kazanılan toplam kinetik enerjiye eşittir.
-
6. Sonucu $E_k$ Cinsinden İfade Edelim:
- Biz $E_k = \frac{1}{2} F_0 x_0$ olduğunu biliyoruz.
- $0-2x_0$ aralığında kazanılan kinetik enerji ise $\frac{3}{2} F_0 x_0$ olarak bulunmuştur.
- Bu ifadeyi $E_k$ cinsinden yazarsak: $\frac{3}{2} F_0 x_0 = 3 \times \left( \frac{1}{2} F_0 x_0 \right) = 3 E_k$.
Buna göre, cismin $0-2x_0$ aralığında kazandığı kinetik enerji $3E_k$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
