10. sınıf fizik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 2

Bir cisim yerden $45^\circ$ açı ile $v_0$ hızıyla atılıyor. Cismin maksimum yüksekliğe çıkma süresi $t_ç$ ve menzili $R$ olduğuna göre, $t_ç$ ve $R$ arasındaki ilişki nedir? (Hava sürtünmesi ihmal ediliyor, yer çekimi ivmesi $g$ olarak alınacaktır.)

A) $R = \frac{v_0^2}{g}$
B) $t_ç = \frac{v_0 \sin 45^\circ}{g}$
C) $R = 2 v_0 t_ç$
D) $R = v_0 \cos 45^\circ \cdot 2t_ç$
E) $t_ç = \frac{R}{v_0 \cos 45^\circ}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, eğik atılan bir cismin hareketini inceleyeceğiz. Cismin maksimum yüksekliğe çıkma süresi ($t_ç$) ile menzili ($R$) arasındaki ilişkiyi bulmak için adım adım ilerleyelim.

• 1. Başlangıç Hızının Bileşenlerini Ayırma:

  Cisim $v_0$ hızıyla ve $45^\circ$ açı ile atıldığı için, bu hızı yatay ve düşey bileşenlerine ayırmamız gerekir. Yatay hız bileşeni, cismin yatayda ne kadar hızlı ilerlediğini, düşey hız bileşeni ise dikeyde ne kadar hızlı yükselip alçaldığını gösterir.

  • Yatay hız bileşeni: $v_{0x} = v_0 \cos 45^\circ$
  • Düşey hız bileşeni: $v_{0y} = v_0 \sin 45^\circ$

  Unutmayalım ki $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.

• 2. Maksimum Yüksekliğe Çıkma Süresini ($t_ç$) Bulma:

  Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında, düşey hızı anlık olarak sıfır olur. Bu bilgiyi kullanarak $t_ç$ süresini bulabiliriz. Düşeydeki hareket denklemini hatırlayalım: $v_y = v_{0y} - gt$.

  • Maksimum yükseklikte $v_y = 0$ olduğu için: $0 = v_{0y} - gt_ç$
  • $gt_ç = v_{0y}$
  • $t_ç = \frac{v_{0y}}{g}$
  • $t_ç = \frac{v_0 \sin 45^\circ}{g}$
• 3. Toplam Uçuş Süresini Bulma:

  Cisim yerden atılıp tekrar yere düştüğünde geçen toplam süreye uçuş süresi ($T$) denir. Hava sürtünmesi ihmal edildiğinde ve cisim aynı seviyeye geri döndüğünde, maksimum yüksekliğe çıkış süresi ile iniş süresi birbirine eşittir. Bu nedenle toplam uçuş süresi, maksimum yüksekliğe çıkış süresinin iki katıdır.

  • $T = 2t_ç$
• 4. Menzili ($R$) Bulma:

  Menzil, cismin yatayda katettiği toplam mesafedir. Yatayda herhangi bir kuvvet (hava sürtünmesi ihmal edildiği için) etki etmediğinden, yatay hız sabittir ($v_{0x}$). Menzili bulmak için yatay hızı toplam uçuş süresiyle çarparız.

  • $R = v_{0x} \cdot T$
  • $R = (v_0 \cos 45^\circ) \cdot T$
  • Şimdi $T = 2t_ç$ ifadesini yerine yazalım:
  • $R = (v_0 \cos 45^\circ) \cdot (2t_ç)$
  • $R = v_0 \cos 45^\circ \cdot 2t_ç$
• 5. Seçenekleri Kontrol Etme:

  Bulduğumuz ilişkiyi seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $R = \frac{v_0^2}{g}$ (Bu, $45^\circ$ atış açısı için menzil formülüdür, ancak $t_ç$ ile doğrudan bir ilişki değildir.)
  • B) $t_ç = \frac{v_0 \sin 45^\circ}{g}$ (Bu sadece $t_ç$ formülüdür, $R$ ile ilişkili değildir.)
  • C) $R = 2 v_0 t_ç$ (Bu seçenekte yatay hız bileşeni olan $\cos 45^\circ$ eksiktir.)
  • D) $R = v_0 \cos 45^\circ \cdot 2t_ç$ (Bu, bizim bulduğumuz ilişkiyle tamamen aynıdır.)
  • E) $t_ç = \frac{R}{v_0 \cos 45^\circ}$ (Bu seçenekte $2t_ç$ yerine $t_ç$ kullanılmıştır, yani toplam uçuş süresi yerine çıkış süresi kullanılmıştır.)

Bu adımları takip ettiğimizde, $R$ ve $t_ç$ arasındaki doğru ilişkinin $R = v_0 \cos 45^\circ \cdot 2t_ç$ olduğunu görüyoruz.

Cevap D seçeneğidir.