Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan $2 \text{ kg}$ kütleli bir cisme etki eden kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği şekildeki gibidir. Cismin $0 \text{ m}$'den $8 \text{ m}$'ye geldiğindeki kinetik enerjisi kaç Joule olur? (Grafik: $x=0$ ile $x=4$ arasında $F=5 \text{ N}$ sabit. $x=4$ ile $x=8$ arasında $F$ doğrusal olarak $5 \text{ N}$'den $-5 \text{ N}$'ye düşüyor.)
A) $0$Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir cisme etki eden kuvvetin yer değiştirmeye bağlı grafiği verilmiş ve cismin belirli bir noktadaki kinetik enerjisi isteniyor. Bu tür problemleri çözmek için iş-enerji teoremini kullanacağız. Hazırsanız, adım adım çözümümüze başlayalım:
İş-enerji teoremi der ki: Bir cisme etki eden net kuvvetin yaptığı iş ( $W_{net}$ ), cismin kinetik enerjisindeki değişime ( $\Delta K$ ) eşittir. Yani, $W_{net} = \Delta K = K_{son} - K_{ilk}$.
Ayrıca, bir kuvvetin yaptığı iş, kuvvet-yer değiştirme ( $F-x$ ) grafiğinin altında kalan alana eşittir. Grafiğin x ekseninin üstünde kalan alanlar pozitif işi, altında kalan alanlar ise negatif işi temsil eder.
Soruda cismin başlangıçta durmakta olduğu belirtiliyor. Bu, cismin ilk kinetik enerjisinin $K_{ilk} = 0$ olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $W_{net} = K_{son} - 0 \Rightarrow K_{son} = W_{net}$ olacaktır. Yani, $0 \text{ m}$'den $8 \text{ m}$'ye kadar yapılan toplam işi bulduğumuzda, cismin $8 \text{ m}$'deki kinetik enerjisini de bulmuş olacağız.
Grafiği iki ana bölgeye ayırabiliriz:
Bu bölgede kuvvet sabittir: $F = 5 \text{ N}$.
Bu bölgedeki iş, bir dikdörtgenin alanına eşittir:
$W_1 = \text{Kuvvet} \times \text{Yer Değiştirme} = F \times \Delta x$
$W_1 = 5 \text{ N} \times (4 \text{ m} - 0 \text{ m}) = 5 \text{ N} \times 4 \text{ m} = 20 \text{ J}$
Bu bölgede kuvvet doğrusal olarak değişmektedir. Bu bölgedeki alanı iki üçgene ayırabiliriz:
Bu kısımda kuvvet $5 \text{ N}$'den $0 \text{ N}$'ye düşer. Bu, tabanı $2 \text{ m}$ ( $6 \text{ m} - 4 \text{ m}$ ) ve yüksekliği $5 \text{ N}$ olan bir üçgenin alanıdır.
$W_{2a} = rac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} = rac{1}{2} \times (6 \text{ m} - 4 \text{ m}) \times 5 \text{ N}$
$W_{2a} = rac{1}{2} \times 2 \text{ m} \times 5 \text{ N} = 5 \text{ J}$
Bu kısımda kuvvet $0 \text{ N}$'den $-5 \text{ N}$'ye düşer. Bu, tabanı $2 \text{ m}$ ( $8 \text{ m} - 6 \text{ m}$ ) ve yüksekliği $-5 \text{ N}$ olan bir üçgenin alanıdır.
$W_{2b} = rac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} = rac{1}{2} \times (8 \text{ m} - 6 \text{ m}) \times (-5 \text{ N})$
$W_{2b} = rac{1}{2} \times 2 \text{ m} \times (-5 \text{ N}) = -5 \text{ J}$
2. Bölgedeki toplam iş: $W_2 = W_{2a} + W_{2b} = 5 \text{ J} + (-5 \text{ J}) = 0 \text{ J}$.
Gördüğünüz gibi, bu bölgede pozitif ve negatif işler birbirini götürdüğü için net iş sıfır olmuştur.
Cismin $0 \text{ m}$'den $8 \text{ m}$'ye geldiğindeki toplam net iş, her iki bölgedeki işlerin toplamıdır:
$W_{net} = W_1 + W_2 = 20 \text{ J} + 0 \text{ J} = 20 \text{ J}$
İlk kinetik enerji $K_{ilk} = 0$ olduğundan, cismin $8 \text{ m}$'deki kinetik enerjisi ( $K_{son}$ ) net işe eşit olacaktır:
$K_{son} = W_{net} = 20 \text{ J}$
Soruda verilen cismin kütlesi ( $m = 2 \text{ kg}$ ) bu hesaplamada doğrudan kullanılmamıştır, çünkü bizden kinetik enerji isteniyor, hız değil. Eğer hız istenmiş olsaydı, $K = rac{1}{2}mv^2$ formülünü kullanarak hızı bulabilirdik.
Buna göre, cismin $0 \text{ m}$'den $8 \text{ m}$'ye geldiğindeki kinetik enerjisi $20 \text{ Joule}$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
