10. sınıf fizik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

Bir cisim, yatay sürtünmesiz bir düzlemde $x=0$ konumundan $x=L$ konumuna kadar hareket ettiriliyor. Cisme etki eden kuvvetin büyüklüğü, konumun bir fonksiyonu olarak $F(x) = kx^2$ şeklinde değişmektedir. Bu kuvvetin cisim üzerinde yaptığı işi veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? ($k$ bir sabittir.)

A) $kL^2$
B) $\frac{1}{2}kL^2$
C) $kL^3$
D) $\frac{1}{3}kL^3$
E) $\frac{1}{4}kL^4$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, konuma bağlı olarak değişen bir kuvvetin yaptığı işi hesaplamamız isteniyor. Fizikte iş kavramı, bir kuvvetin bir cismi belirli bir mesafe boyunca hareket ettirmesiyle ilişkilidir. Eğer kuvvet sabitse iş $W = F \cdot \Delta x$ formülüyle hesaplanır. Ancak, kuvvet konumla değişiyorsa, işi hesaplamak için integral kullanmamız gerekir.

• 1. İşin Tanımı ve Formülü:

  Bir cisim üzerine etki eden kuvvet $F(x)$ konumun bir fonksiyonu olarak değişiyorsa, bu kuvvetin cismi $x_1$ konumundan $x_2$ konumuna kadar hareket ettirirken yaptığı iş, kuvvet fonksiyonunun konum aralığı boyunca integralidir. Matematiksel olarak bu durum şu şekilde ifade edilir:

  $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

• 2. Verilenleri Belirleme:

  Soruda bize verilenler şunlardır:

  • Cisme etki eden kuvvetin büyüklüğü: $F(x) = kx^2$
  • Cismin başlangıç konumu: $x_1 = 0$
  • Cismin son konumu: $x_2 = L$
  • $k$ bir sabittir.
• 3. İntegrali Kurma:

  Şimdi, iş formülünde verilen $F(x)$ fonksiyonunu ve konum sınırlarını yerine koyalım:

  $W = \int_{0}^{L} kx^2 dx$

• 4. İntegrali Çözme:

  İntegrali adım adım çözelim:

  • Sabit $k$ integral dışına alınabilir:

  $W = k \int_{0}^{L} x^2 dx$

  • $x^n$ teriminin integrali $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ şeklindedir. Burada $n=2$ olduğu için $x^2$ teriminin integrali $\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$ olacaktır.

  $W = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{L}$

  • Şimdi, üst sınırı ($L$) ve alt sınırı ($0$) yerine koyup çıkaralım:

  $W = k \left( \frac{L^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)$

  $W = k \left( \frac{L^3}{3} - 0 \right)$

  $W = \frac{1}{3}kL^3$

• 5. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz sonuç olan $W = \frac{1}{3}kL^3$ ifadesi, seçenekler arasında D seçeneğinde verilmiştir.

Cevap D seçeneğidir.