Sürtünmesiz bir ortamda, $10 \text{ m}$ yükseklikten $5 \text{ m/s}$ hızla atılan $2 \text{ kg}$ kütleli bir cismin yere çarpmadan hemen önceki hızı kaç $\text{m/s}$'dir? ($g = 10 \text{ m/s}^2$ alınız.)
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için fiziksel sistemlerde enerjinin korunumu ilkesini kullanacağız. Sürtünmesiz bir ortamda, bir cismin toplam mekanik enerjisi (potansiyel enerji ve kinetik enerjinin toplamı) sabit kalır. Bu, cismin başlangıçtaki toplam enerjisinin, yere çarpmadan hemen önceki toplam enerjisine eşit olacağı anlamına gelir.
- 1. Adım: Başlangıçtaki Toplam Mekanik Enerjiyi Hesaplayalım
- Cismin başlangıçta hem bir yüksekliği olduğu için potansiyel enerjisi, hem de bir hızı olduğu için kinetik enerjisi vardır.
- Potansiyel enerji ($PE_i$) formülü: $PE_i = mgh$
- Kinetik enerji ($KE_i$) formülü: $KE_i = rac{1}{2}mv_0^2$
- Toplam başlangıç enerjisi ($E_i$): $E_i = PE_i + KE_i = mgh + rac{1}{2}mv_0^2$
- Soruda verilen değerler: Kütle ($m$) = $2 \text{ kg}$, Yükseklik ($h$) = $10 \text{ m}$, Yerçekimi ivmesi ($g$) = $10 \text{ m/s}^2$, Başlangıç hızı ($v_0$) = $5 \text{ m/s}$.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım:
- $E_i = (2 \text{ kg})(10 \text{ m/s}^2)(10 \text{ m}) + rac{1}{2}(2 \text{ kg})(5 \text{ m/s})^2$
- $E_i = 200 \text{ J} + rac{1}{2}(2 \text{ kg})(25 \text{ m}^2/\text{s}^2)$
- $E_i = 200 \text{ J} + 25 \text{ J}$
- $E_i = 225 \text{ J}$
- 2. Adım: Yere Çarpmadan Hemen Önceki Toplam Mekanik Enerjiyi Belirleyelim
- Cisim yere çarpmadan hemen önce yüksekliği $0 \text{ m}$ olacağı için potansiyel enerjisi $0$ olacaktır. Bu noktada tüm mekanik enerji kinetik enerjiye dönüşmüş durumdadır.
- Yere çarpmadan önceki potansiyel enerji ($PE_f$): $PE_f = 0$
- Yere çarpmadan önceki kinetik enerji ($KE_f$): $KE_f = rac{1}{2}mv_f^2$ (Burada $v_f$ aradığımız son hızdır.)
- Toplam son enerji ($E_f$): $E_f = PE_f + KE_f = 0 + rac{1}{2}mv_f^2 = rac{1}{2}mv_f^2$
- 3. Adım: Enerji Korunumunu Uygulayarak Son Hızı Hesaplayalım
- Mekanik enerji korunduğu için başlangıçtaki toplam enerji, sondaki toplam enerjiye eşittir: $E_i = E_f$.
- $225 \text{ J} = rac{1}{2}mv_f^2$
- Kütle ($m$) = $2 \text{ kg}$ değerini yerine yazalım:
- $225 \text{ J} = rac{1}{2}(2 \text{ kg})v_f^2$
- $225 \text{ J} = (1 \text{ kg})v_f^2$
- $v_f^2 = 225 \text{ m}^2/\text{s}^2$
- Her iki tarafın karekökünü alarak $v_f$ değerini bulalım:
- $v_f = \sqrt{225 \text{ m}^2/\text{s}^2}$
- $v_f = 15 \text{ m/s}$
Bu sonuç, cismin yere çarpmadan hemen önceki hızının $15 \text{ m/s}$ olduğunu göstermektedir. Gördüğünüz gibi, enerji korunumu ilkesi, bu tür hareket problemlerini çözmek için çok güçlü ve anlaşılır bir yöntemdir.
Cevap B seçeneğidir.
