Sürtünmesiz bir ortamda, $m$ kütleli bir cisim yerden $h$ yüksekliğinden serbest bırakılıyor. Cisim yere düşerken kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eşit olduğu anda yerden yüksekliği kaç $h$ olur?
A) $1/2$
B) $1/3$
C) $1/4$
D) $2/3$
E) $3/4$
Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için enerji korunumu ilkesini kullanacağız. Sürtünmesiz bir ortamda, bir cismin toplam mekanik enerjisi (kinetik enerji + potansiyel enerji) her zaman sabit kalır.
- Başlangıç Durumu (Cisim $h$ yüksekliğindeyken):
- Cisim serbest bırakıldığı için başlangıç hızı sıfırdır ($v_0 = 0$). Bu nedenle başlangıçtaki kinetik enerjisi $E_{k,başlangıç} = \frac{1}{2}mv_0^2 = 0$ olur.
- Cismin başlangıçtaki potansiyel enerjisi $E_{p,başlangıç} = mgh$ olur.
- Toplam mekanik enerji $E_{toplam,başlangıç} = E_{k,başlangıç} + E_{p,başlangıç} = 0 + mgh = mgh$ olur.
- İstenen Durum (Cisim $h'$ yüksekliğindeyken):
- Cismin yerden yüksekliği $h'$ olduğunda, potansiyel enerjisi $E_{p,an} = mgh'$ olur.
- Bu anda cismin bir hızı olacağı için kinetik enerjisi $E_{k,an}$ olacaktır.
- Soruda verilen koşula göre, bu anda kinetik enerji potansiyel enerjiye eşit olmalıdır: $E_{k,an} = E_{p,an}$.
- Bu andaki toplam mekanik enerji $E_{toplam,an} = E_{k,an} + E_{p,an}$ olur.
- Enerji Korunumu İlkesini Uygulama:
- Sürtünmesiz bir ortamda toplam mekanik enerji korunur, yani $E_{toplam,başlangıç} = E_{toplam,an}$ olmalıdır.
- $mgh = E_{k,an} + E_{p,an}$
- Soruda verilen $E_{k,an} = E_{p,an}$ koşulunu bu denkleme yerine yazarsak:
- $mgh = E_{p,an} + E_{p,an}$
- $mgh = 2 E_{p,an}$
- $h'$ Yüksekliğini Bulma:
- $E_{p,an}$ yerine $mgh'$ ifadesini yazalım:
- $mgh = 2 (mgh')$
- Denklemin her iki tarafındaki $mg$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
- $h = 2h'$
- Şimdi $h'$ değerini yalnız bırakalım:
- $h' = \frac{h}{2}$
Yani, cismin kinetik enerjisinin potansiyel enerjisine eşit olduğu anda yerden yüksekliği başlangıç yüksekliğinin yarısı kadar, yani $h/2$ olur.
Cevap A seçeneğidir.
