Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek $f(x) = \tan^2(2x) + \cos(3x)$ fonksiyonunun esas periyodunu bulalım.
- Adım 1: $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodunu bulalım. $\tan(x)$ fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğundan, $\tan(2x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{\pi}{2}$ olur. $\tan^2(2x)$ fonksiyonu, $\tan(2x)$'in karesi olduğundan, negatif değerler pozitif olacağından periyot yarıya iner. Yani, $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{\pi}{2}$'dir.
- Adım 2: $\cos(3x)$ fonksiyonunun periyodunu bulalım. $\cos(x)$ fonksiyonunun periyodu $2\pi$ olduğundan, $\cos(3x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olur.
- Adım 3: $f(x) = \tan^2(2x) + \cos(3x)$ fonksiyonunun periyodunu bulmak için, $\tan^2(2x)$ ve $\cos(3x)$ fonksiyonlarının periyotlarının en küçük ortak katını (EKOK) almamız gerekir. Yani, $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{2\pi}{3}$'ün EKOK'unu bulmalıyız.
- Adım 4: $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{2\pi}{3}$'ün EKOK'unu bulmak için, payların EKOK'unu alıp paydaların EBOB'una bölmeliyiz. Payların EKOK'u: EKOK$(\pi, 2\pi) = 2\pi$. Paydaların EBOB'u: EBOB$(2, 3) = 1$. Dolayısıyla, EKOK$(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}) = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$. Bu durumda, $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodunu iki katına çıkarmamız gerekir. Yani $\frac{\pi}{2} * 2 = \pi$.
- Adım 5: $\tan^2(2x)$'in periyodu $\frac{\pi}{2}$ ve $\cos(3x)$'in periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olduğundan, bu iki periyodun en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. Yani, EKOK$(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3})$'ü bulmalıyız. Bu da $\frac{EKOK(\pi, 2\pi)}{EBOB(2, 3)} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$ yapar. Ancak, $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{\pi}{2}$ olduğundan, $2\pi$ bu periyodun bir katı olmalıdır. $\cos(3x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olduğundan, $2\pi$ bu periyodun da bir katı olmalıdır. Bu durumda, $2\pi$ her iki fonksiyonun da periyodunun bir katı olduğundan, $f(x)$ fonksiyonunun periyodu $2\pi$ olabilir. Ancak, $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{\pi}{2}$ olduğundan, $2\pi$ bu periyodun 4 katıdır. $\cos(3x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olduğundan, $2\pi$ bu periyodun 3 katıdır. Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunun periyodu $2\pi$ olamaz.
- Adım 6: $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{\pi}{2}$ olduğundan, bu periyodun katları $\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi, \frac{7\pi}{2}, 4\pi, \frac{9\pi}{2}, 5\pi, \frac{11\pi}{2}, 6\pi, ...$ şeklindedir. $\cos(3x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olduğundan, bu periyodun katları $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}, 4\pi, \frac{14\pi}{3}, \frac{16\pi}{3}, 6\pi, ...$ şeklindedir. Her iki periyodun da ortak katı olan en küçük değer $2\pi$ değildir. Ancak, $\tan^2(2x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{\pi}{2}$ olduğundan, bu periyodun 12 katı $6\pi$ yapar. $\cos(3x)$ fonksiyonunun periyodu $\frac{2\pi}{3}$ olduğundan, bu periyodun 9 katı $6\pi$ yapar. Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunun periyodu $6\pi$ olabilir.
Cevap E seçeneğidir.
