Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği $y = \sin x$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ ekseni boyunca $\frac{\pi}{2}$ birim sağa ötelenmiş halidir?
A) $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$
B) $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$
C) $y = \sin x + \frac{\pi}{2}$
D) $y = \sin x - \frac{\pi}{2}$
E) $y = \cos x$
Fonksiyon grafiklerinin ötelenmesi konusunu hatırlayalım. Bir $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $x$ ekseni boyunca sağa veya sola ötelemek için, $x$ değişkenini değiştiririz.
- Sağa Öteleme: $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $x$ ekseni boyunca $a$ birim sağa ötelemek için, $x$ yerine $(x - a)$ yazarız. Yani yeni fonksiyon $y = f(x - a)$ olur.
- Sola Öteleme: $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $x$ ekseni boyunca $a$ birim sola ötelemek için, $x$ yerine $(x + a)$ yazarız. Yani yeni fonksiyon $y = f(x + a)$ olur.
Sorumuzda, $y = \sin x$ fonksiyonunun grafiğinin $x$ ekseni boyunca $\frac{\pi}{2}$ birim sağa ötelenmiş halini arıyoruz. Yukarıdaki bilgiyi kullanarak, $x$ yerine $(x - \frac{\pi}{2})$ yazmamız gerektiğini anlarız.
Bu durumda, yeni fonksiyonumuz $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ olur.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$: Bu, grafiğin sola ötelenmiş halidir.
- B) $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$: Bu, grafiğin sağa ötelenmiş halidir.
- C) $y = \sin x + \frac{\pi}{2}$: Bu, grafiğin yukarı ötelenmiş halidir.
- D) $y = \sin x - \frac{\pi}{2}$: Bu, grafiğin aşağı ötelenmiş halidir.
- E) $y = \cos x$: Trigonometrik özdeşliklerden $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ olduğunu biliyoruz. Bu da A seçeneği ile aynıdır, yani sola ötelemedir. Ayrıca $\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x$ olduğunu da hatırlayalım.
Doğru seçenek, $y = \sin(x - \frac{\pi}{2})$ fonksiyonunu veren B seçeneğidir.
Cevap B seçeneğidir
