Bir $ABCD$ paralelkenarının köşeleri $A(1, 2)$, $B(4, 5)$, $C(x, y)$ ve $D(2, 6)$ olduğuna göre, $C$ noktasının koordinatları $(x, y)$ nedir?
A) $(3, 9)$
B) $(4, 8)$
C) $(5, 7)$
D) $(5, 9)$
E) $(3, 8)$
Bir paralelkenarın en önemli özelliklerinden biri, köşegenlerinin birbirini ortalamasıdır. Yani, paralelkenarın köşegenlerinin orta noktaları aynıdır. Bu özelliği kullanarak $C$ noktasının koordinatlarını bulabiliriz.
- Paralelkenarın Köşegenleri ve Orta Noktaları: Bir $ABCD$ paralelkenarında, $AC$ köşegeninin orta noktası ile $BD$ köşegeninin orta noktası aynıdır. Bu ortak noktaya $M$ diyelim.
- $BD$ Köşegeninin Orta Noktasını Bulma: $B(4, 5)$ ve $D(2, 6)$ noktalarının orta noktasını $M$ olarak adlandıralım. Orta nokta formülü $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ şeklindedir.
$M_x = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$M_y = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2}$.
Böylece $BD$ köşegeninin orta noktası $M\left(3, \frac{11}{2}\right)$ olur.
- $AC$ Köşegeninin Orta Noktasını Bulma: $A(1, 2)$ ve $C(x, y)$ noktalarının orta noktası da aynı $M$ noktası olmalıdır. Bu durumda $AC$ köşegeninin orta noktasının koordinatları $\left( \frac{1 + x}{2}, \frac{2 + y}{2} \right)$ şeklinde ifade edilir.
- Orta Noktaları Eşitleme ve $x$ Değerini Bulma: Şimdi $BD$ ve $AC$ köşegenlerinin orta noktalarının $x$ koordinatlarını birbirine eşitleyelim:
$\frac{1 + x}{2} = 3$.
Her iki tarafı $2$ ile çarparsak: $1 + x = 3 \times 2 \implies 1 + x = 6$.
Buradan $x = 6 - 1 = 5$ bulunur.
- Orta Noktaları Eşitleme ve $y$ Değerini Bulma: Benzer şekilde, $BD$ ve $AC$ köşegenlerinin orta noktalarının $y$ koordinatlarını birbirine eşitleyelim:
$\frac{2 + y}{2} = \frac{11}{2}$.
Her iki tarafı $2$ ile çarparsak: $2 + y = 11$.
Buradan $y = 11 - 2 = 9$ bulunur.
- $C$ Noktasının Koordinatları: Bulduğumuz $x=5$ ve $y=9$ değerlerine göre $C$ noktasının koordinatları $(5, 9)$'dur.
Cevap D seçeneğidir.
