$2x - y + 5 = 0$ ve $x + 2y - 10 = 0$ doğrularının kesim noktasının koordinatları nedir?
A) $(-1, 3)$Sevgili öğrenciler, iki doğrunun kesim noktasını bulmak demek, bu iki denklemi aynı anda sağlayan $x$ ve $y$ değerlerini bulmak demektir. Bu tür problemleri çözmek için genellikle yok etme veya yerine koyma yöntemlerini kullanırız. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim.
Verilen denklemleri daha kolay işlem yapabileceğimiz bir formata getirelim:
Birinci denklem: $2x - y + 5 = 0 \implies 2x - y = -5$
İkinci denklem: $x + 2y - 10 = 0 \implies x + 2y = 10$
Şimdi elimizde şu denklem sistemi var:
$2x - y = -5$ (Denklem 1)
$x + 2y = 10$ (Denklem 2)
Bu adımda, $x$ veya $y$ değişkenlerinden birini yok ederek tek bilinmeyenli bir denklem elde etmeyi hedefliyoruz. Gelin, $y$ değişkenini yok edelim. Bunun için Denklem 1'i $2$ ile çarparsak, $y$'nin katsayısı Denklem 2'deki $y$'nin katsayısının ters işaretlisi olur.
Denklem 1'i $2$ ile çarpalım: $2 \times (2x - y) = 2 \times (-5) \implies 4x - 2y = -10$ (Yeni Denklem 1')
Şimdi Yeni Denklem 1' ile Denklem 2'yi taraf tarafa toplayalım:
$(4x - 2y) + (x + 2y) = (-10) + (10)$
$4x + x - 2y + 2y = 0$
$5x = 0$
Elde ettiğimiz $5x = 0$ denkleminden $x$ değerini kolayca bulabiliriz:
$5x = 0 \implies x = 0$
Bulduğumuz $x = 0$ değerini orijinal denklemlerden herhangi birine (örneğin Denklem 2'ye) yerine koyarak $y$ değerini bulabiliriz:
Denklem 2: $x + 2y = 10$
$0 + 2y = 10$
$2y = 10$
$y = 5$
Böylece, iki doğrunun kesim noktasının koordinatları $(x, y) = (0, 5)$ olarak bulunur.
Bulduğumuz $(0, 5)$ noktasının her iki denklemi de sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
Denklem 1 için: $2(0) - 5 + 5 = 0 - 5 + 5 = 0$. Sağlar.
Denklem 2 için: $0 + 2(5) - 10 = 0 + 10 - 10 = 0$. Sağlar.
Her iki denklemi de sağladığına göre çözümümüz doğrudur.
Bu durumda, doğruların kesim noktasının koordinatları $(0, 5)$'tir.
Cevap B seçeneğidir.
