$P(2, -3)$ noktasının $3x - 4y + 5 = 0$ doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?
A) $\frac{11}{5}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, analitik geometrinin temel konularından biridir ve formülü doğru uyguladığımızda oldukça kolay çözülebilir.
1. Adım: Noktanın Doğruya Uzaklık Formülünü Hatırlayalım
Bir $P(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ şeklindeki bir doğruya olan uzaklığı $d$ aşağıdaki formülle bulunur:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Bu formül, noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyup mutlak değerini alarak, doğrunun katsayılarının karelerinin toplamının kareköküne bölmemizi söyler.
2. Adım: Verilen Değerleri Belirleyelim
Sorumuzda verilenler şunlardır:
Bu denklemi genel $Ax + By + C = 0$ formuyla karşılaştırırsak:
3. Adım: Değerleri Formülde Yerine Koyalım
Şimdi belirlediğimiz bu değerleri uzaklık formülünde yerine yazalım:
$d = \frac{|(3)(2) + (-4)(-3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
4. Adım: Pay Kısmını (Mutlak Değer İçini) Hesaplayalım
Mutlak değerin içindeki ifadeyi adım adım hesaplayalım:
$3 \times 2 = 6$
$-4 \times -3 = 12$
Pay kısmı: $|6 + 12 + 5| = |23|$
Mutlak değer dışına $23$ olarak çıkar.
5. Adım: Payda Kısmını Hesaplayalım
Karekök içindeki ifadeyi hesaplayalım:
$3^2 = 9$
$(-4)^2 = 16$
Payda kısmı: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$
Karekök dışına $5$ olarak çıkar.
6. Adım: Uzaklığı Bulalım
Şimdi pay ve payda kısımlarını birleştirerek uzaklığı hesaplayalım:
$d = \frac{23}{5}$
7. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
Bulduğumuz sonuç $\frac{23}{5}$'tir. Seçeneklere baktığımızda bu değerin C seçeneğinde olduğunu görüyoruz.
Bu adımları takip ederek, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını kolayca hesaplayabiliriz. Unutmayın, formülü doğru hatırlamak ve işlem hatalarından kaçınmak çok önemlidir!
Cevap C seçeneğidir.
