Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen fonksiyonlardan hangisinin periyodik olmadığını bulmamız isteniyor. Öncelikle periyodik fonksiyonun ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Bir $f(x)$ fonksiyonu, eğer belirli bir pozitif $T$ sayısı (periyot) için $f(x+T) = f(x)$ eşitliğini sağlıyorsa, bu fonksiyona periyodik fonksiyon denir. Yani fonksiyonun değerleri belirli aralıklarla kendini tekrar eder.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $y = \sin(x)$
- Sinüs fonksiyonu, trigonometrik bir fonksiyondur ve grafiği belirli aralıklarla kendini tekrar eder.
- $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$ eşitliği geçerlidir. Yani $\sin(x)$ fonksiyonu $2\pi$ periyotlu periyodik bir fonksiyondur.
- B) $y = \cos(x)$
- Kosinüs fonksiyonu da sinüs gibi trigonometrik bir fonksiyondur ve grafiği belirli aralıklarla kendini tekrar eder.
- $\cos(x+2\pi) = \cos(x)$ eşitliği geçerlidir. Yani $\cos(x)$ fonksiyonu $2\pi$ periyotlu periyodik bir fonksiyondur.
- C) $y = \tan(x)$
- Tanjant fonksiyonu da trigonometrik bir fonksiyondur.
- $\tan(x+\pi) = \tan(x)$ eşitliği geçerlidir. Yani $\tan(x)$ fonksiyonu $\pi$ periyotlu periyodik bir fonksiyondur.
- D) $y = x^2$
- Bu fonksiyon bir parabol belirtir. $x$ değerleri arttıkça veya azaldıkça $y$ değerleri sürekli değişir ve kendini tekrar etmez.
- Örneğin, $f(1) = 1^2 = 1$, $f(2) = 2^2 = 4$, $f(3) = 3^2 = 9$. Fonksiyonun değerleri sürekli artmaktadır (pozitif $x$ değerleri için).
- Eğer bu fonksiyon periyodik olsaydı, $f(x+T) = f(x)$ olmalıydı. Yani $(x+T)^2 = x^2$ olmalıydı. Bu da $x^2 + 2xT + T^2 = x^2$ anlamına gelir. Buradan $2xT + T^2 = 0$ elde ederiz. Bu eşitliğin tüm $x$ değerleri için sağlanması mümkün değildir (çünkü $T$ pozitif bir sabit sayıdır).
- Dolayısıyla, $y = x^2$ fonksiyonu periyodik değildir.
- E) $y = \cot(x)$
- Kotanjant fonksiyonu da trigonometrik bir fonksiyondur.
- $\cot(x+\pi) = \cot(x)$ eşitliği geçerlidir. Yani $\cot(x)$ fonksiyonu $\pi$ periyotlu periyodik bir fonksiyondur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $y = x^2$ fonksiyonunun periyodik olmadığını açıkça görüyoruz. Diğer tüm fonksiyonlar trigonometrik olup belirli periyotlarla kendini tekrar etmektedir.
Cevap D seçeneğidir.
