$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ limitinin değeri kaçtır?
A) 0Sevgili öğrenciler, bu limit sorusunu adım adım çözelim. Limit sorularında ilk yapmamız gereken genellikle $x$ değerini fonksiyonda yerine koymaktır.
Öncelikle, $x=2$ değerini verilen fonksiyona, yani $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ifadesine doğrudan yerine koymayı deneyelim.
Pay kısmı: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$
Payda kısmı: $2 - 2 = 0$
Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ şeklinde bir belirsizlik durumu ile karşılaştık. Bu durum, limitin var olabileceği ancak fonksiyonun o noktada tanımlı olmadığı anlamına gelir. Belirsizliği gidermek için cebirsel yöntemler kullanmalıyız.
Belirsizliği gidermenin en yaygın yollarından biri, pay veya paydayı çarpanlara ayırarak ortak terimleri sadeleştirmektir. Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir. Hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Bu durumda, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Şimdi limit ifadesini yeniden yazalım:
$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
Limit alırken $x \to 2$ demek, $x$'in 2'ye çok yaklaştığı ancak tam olarak 2 olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla $x - 2 \neq 0$ kabul edebiliriz. Bu sayede pay ve paydadaki $(x - 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz.
$\lim_{x \to 2} (x + 2)$
Artık belirsizlik ortadan kalktığına göre, $x=2$ değerini sadeleşmiş ifade olan $(x + 2)$ yerine koyabiliriz.
$2 + 2 = 4$
Bu durumda, limitin değeri $4$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
