12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı senaryoları Test 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - x + 5}$ limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) $\infty$

Bu soruda, $x$ sonsuza giderken bir rasyonel ifadenin limitini bulmamız isteniyor. Bu tür limitleri çözerken izleyebileceğimiz en temel ve açıklayıcı yöntemle başlayalım:

• Adım 1: İfadeyi Yeniden Düzenleme

Rasyonel bir ifadenin $x \to \infty$ durumundaki limitini bulmak için, pay ve paydadaki her terimi, paydadaki en yüksek $x$ kuvvetine böleriz. Bu durumda, paydadaki en yüksek $x$ kuvveti $x^2$'dir.

İfadeyi $x^2$'ye bölelim:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{5}{x^2}}$

• Adım 2: Terimleri Sadeleştirme

Şimdi her bir terimi sadeleştirelim. İfade şu hale gelir:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}}$

• Adım 3: Limit Alma

$x$ sonsuza giderken, sabit bir sayının $x$'in pozitif bir kuvvetine bölümü sıfıra yaklaşır. Yani, $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ (burada $c$ bir sabit ve $n > 0$ bir tam sayıdır).

Bu kuralı uygulayarak, ifadedeki terimlerin limitlerini bulalım:

Pay kısmındaki terimlerin limitleri: $\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}) = 3 + 0 - 0 = 3$.

Payda kısmındaki terimlerin limitleri: $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}) = 1 - 0 + 0 = 1$.

• Adım 4: Sonucu Hesaplama

Pay ve paydanın limitlerini bulduktan sonra, bu limitleri birbirine böleriz:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{\lim_{x \to \infty} (3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2})}{\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2})} = \frac{3}{1} = 3$

• Alternatif Yöntem: Dereceleri Karşılaştırma

Rasyonel fonksiyonların $x \to \infty$ limitlerinde pratik bir kural vardır:

Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, limit, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranına eşittir.

Verilen fonksiyonda, pay ($3x^2 + 2x - 1$) ve payda ($x^2 - x + 5$) her ikisi de 2. dereceden polinomlardır.

Payın en yüksek dereceli teriminin katsayısı $3$'tür.

Paydanın en yüksek dereceli teriminin katsayısı $1$'dir.

Bu durumda limit, katsayıların oranı olacaktır: $\frac{3}{1} = 3$.

Bu yöntem, önceki adımlarla bulduğumuz sonucu doğrulamaktadır.

Cevap D seçeneğidir.