Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda üstel bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Fonksiyonu Tanımlayalım ve Gözlemleyelim.
- Bize verilen fonksiyon $f(x) = e^{3x}$'tir.
- Bu fonksiyon, $e$ tabanında bir üstel ifade içeriyor, ancak üssü sadece $x$ değil, $3x$ şeklinde başka bir fonksiyondur. Bu durum bize "Zincir Kuralı"nı kullanmamız gerektiğini gösterir.
- Adım 2: Zincir Kuralını Hatırlayalım.
- Genel olarak, eğer bir fonksiyon $f(x) = e^{u(x)}$ şeklinde ise, yani $e$ tabanının üssü $x$'in bir fonksiyonu ise, bu fonksiyonun türevi $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$ formülü ile bulunur.
- Bu kural bize der ki: Fonksiyonun türevini bulmak için, önce fonksiyonun kendisini yazarız ($e^{u(x)}$), sonra da üstteki ifadenin ($u(x)$) türevi ile çarparız ($u'(x)$).
- Adım 3: $u(x)$ ve $u'(x)$'i Belirleyelim.
- Bizim fonksiyonumuzda $f(x) = e^{3x}$ olduğu için, üstteki ifade $u(x) = 3x$'tir.
- Şimdi $u(x)$'in türevini, yani $u'(x)$'i bulalım. $u(x) = 3x$ fonksiyonunun türevi $u'(x) = 3$'tür. (Hatırlayın, $cx$ şeklindeki bir ifadenin türevi sadece $c$'dir.)
- Adım 4: Zincir Kuralını Uygulayalım.
- Bulduğumuz $u(x) = 3x$ ve $u'(x) = 3$ değerlerini Zincir Kuralı formülüne yerleştirelim:
- $f'(x) = e^{u(x)} \cdot u'(x)$
- $f'(x) = e^{3x} \cdot 3$
- Bu ifadeyi daha düzenli bir şekilde yazarsak: $f'(x) = 3e^{3x}$ elde ederiz.
- Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım.
- Bulduğumuz türev $f'(x) = 3e^{3x}$'tir.
- Şimdi verilen seçeneklere bakalım:
- A) $e^{3x}$
- B) $3e^{3x}$
- C) $\frac{1}{3}e^{3x}$
- D) $e^{x}$
- E) $3e^{x}$
- Bizim sonucumuz B seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
