Yarıçapları $5 \text{ cm}$ olan iki çember, iki farklı noktada kesişmektedir. Bu çemberlerden birinin merkezi ile kesişim noktaları birleştirilerek bir üçgen oluşturuluyor. Bu üçgenin çevresi en fazla kaç santimetre olabilir?
A) $10 \text{ cm}$
B) $15 \text{ cm}$
C) $20 \text{ cm}$
D) $25 \text{ cm}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde çemberler ve üçgenler arasındaki ilişkiyi kullanarak bir üçgenin çevresinin alabileceği en büyük değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- İki çemberimiz var ve her ikisinin de yarıçapı $r = 5 \text{ cm}$.
- Bu iki çember, iki farklı noktada kesişiyor. Bu kesişim noktalarına $A$ ve $B$ diyelim.
- Çemberlerden birinin merkezi ile bu kesişim noktaları birleştirilerek bir üçgen oluşturuluyor. Bu merkeze $M_1$ diyelim. Oluşan üçgen $M_1AB$ üçgenidir.
- Bizden bu $M_1AB$ üçgeninin çevresinin en fazla kaç santimetre olabileceği isteniyor.
- 2. Üçgenin Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:
- $M_1$ noktası, ilk çemberin merkezidir. $A$ ve $B$ noktaları ise bu çemberin üzerindedir (çünkü kesişim noktalarıdır).
- Bu durumda, $M_1A$ ve $M_1B$ kenarları, ilk çemberin yarıçaplarıdır.
- Yarıçap $5 \text{ cm}$ olduğuna göre, $M_1A = 5 \text{ cm}$ ve $M_1B = 5 \text{ cm}$'dir.
- Üçgenin üçüncü kenarı ise $AB$ kenarıdır. Bu kenar, iki çemberin ortak kirişidir.
- 3. Üçgenin Çevresini İfade Edelim:
- $M_1AB$ üçgeninin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır:
- Çevre $= M_1A + M_1B + AB$
- Çevre $= 5 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + AB$
- Çevre $= 10 \text{ cm} + AB$
- Çevrenin en büyük değerini bulmak için, $AB$ ortak kirişinin uzunluğunun en büyük değerini bulmamız gerekiyor.
- 4. Ortak Kirişin Uzunluğunu Maksimum Yapalım:
- $AB$ kenarı, $M_1$ merkezli çemberin bir kirişidir. Bir çemberdeki en uzun kiriş, o çemberin çapıdır.
- Bu çemberin çapı $2r = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}$'dir.
- Yani, $AB$ kirişinin uzunluğu en fazla $10 \text{ cm}$ olabilir. ($AB \le 10 \text{ cm}$)
- Peki, $AB$ uzunluğu $10 \text{ cm}$ olabilir mi? Eğer $AB = 10 \text{ cm}$ olursa, $AB$ ilk çemberin çapı olur ve $M_1$ noktası $AB$ doğru parçasının tam ortasında yer alır.
- Ancak, $A$ ve $B$ noktaları aynı zamanda ikinci çemberin de üzerindedir ve ikinci çemberin yarıçapı da $5 \text{ cm}$'dir. Eğer $AB = 10 \text{ cm}$ ise, ikinci çemberin merkezi olan $M_2$ de $AB$ doğru parçasının tam ortasında yer almalıdır (çünkü $M_2A = 5 \text{ cm}$ ve $M_2B = 5 \text{ cm}$ olmalıdır).
- Bu durumda $M_1$ ve $M_2$ noktaları çakışır, yani $M_1 = M_2$ olur. Bu da iki çemberin aynı çember olduğu anlamına gelir.
- Soruda "iki farklı noktada kesişmektedir" ifadesi geçtiği için, çemberler aynı olamaz. Yani $M_1 \neq M_2$ olmalıdır. Bu da çember merkezleri arasındaki uzaklığın $d \neq 0$ olması gerektiği anlamına gelir.
- Eğer $d=0$ olsaydı, çemberler aynı olurdu ve "iki farklı noktada kesişme" durumu olmazdı.
- İki çemberin iki farklı noktada kesişebilmesi için merkezler arası uzaklık $d$, yarıçapların farkının mutlak değeri ile toplamı arasında olmalıdır: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.
- Bizim durumumuzda $r_1 = r_2 = 5 \text{ cm}$ olduğundan, $|5 - 5| < d < 5 + 5$, yani $0 < d < 10 \text{ cm}$ olmalıdır.
- Ortak kirişin uzunluğu $AB = 2 \sqrt{r^2 - (d/2)^2}$ formülüyle bulunur. Burada $r=5 \text{ cm}$'dir.
- $AB = 2 \sqrt{5^2 - (d/2)^2} = 2 \sqrt{25 - d^2/4}$.
- $AB$ uzunluğunun en büyük olması için, $d$ değerinin en küçük olması gerekir. $d$ değeri $0$'a ne kadar yaklaşırsa (ama $0$ olmaz), $AB$ uzunluğu da o kadar $10 \text{ cm}$'ye yaklaşır.
- Yani, $AB$ uzunluğu $10 \text{ cm}$'ye çok yakın, ama $10 \text{ cm}$'den küçük bir değer alabilir. Örneğin, $d$ çok küçük bir pozitif sayı olduğunda ($d \to 0^+$), $AB \to 10 \text{ cm}$.
- 5. Maksimum Çevreyi Hesaplayalım:
- Çevre $= 10 \text{ cm} + AB$.
- $AB$ uzunluğu $10 \text{ cm}$'ye istediğimiz kadar yaklaşabildiğine göre, çevre de $10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$'ye istediğimiz kadar yaklaşabilir.
- Soruda "en fazla kaç santimetre olabilir?" diye sorulduğunda ve seçenekler tam sayı olduğunda, limit değeri (yani ulaşabileceği en üst sınır) genellikle doğru cevap olarak kabul edilir.
Bu durumda, üçgenin çevresi $20 \text{ cm}$'ye çok yakın bir değer alabilir ve seçenekler arasında en büyük olası değer $20 \text{ cm}$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
