5. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 5

Yarıçapları $6 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ olan iki çember, iki farklı noktada kesişmektedir. Bu çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık $12 \text{ cm}$ olduğuna göre, çemberlerin merkezleri ve kesişim noktalarından biri ile oluşturulan üçgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisidir?

A) $6 \text{ cm}, 9 \text{ cm}, 12 \text{ cm}$
B) $6 \text{ cm}, 9 \text{ cm}, 15 \text{ cm}$
C) $6 \text{ cm}, 12 \text{ cm}, 18 \text{ cm}$
D) $9 \text{ cm}, 12 \text{ cm}, 21 \text{ cm}$

Bu problemde, iki çemberin kesişim noktaları ve merkezleri arasındaki ilişkileri kullanarak bir üçgenin kenar uzunluklarını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Problemi Anlayalım: Bize iki çemberin yarıçapları ve merkezleri arasındaki uzaklık verilmiş. Bu çemberlerin merkezlerini ve kesişim noktalarından birini köşe kabul eden bir üçgenin kenar uzunluklarını bulmamız isteniyor.
• Verilen Bilgileri Not Edelim:
  • Birinci çemberin yarıçapı ($r_1$) $= 6 \text{ cm}$.
  • İkinci çemberin yarıçapı ($r_2$) $= 9 \text{ cm}$.
  • Çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık ($d$) $= 12 \text{ cm}$.
• Üçgenin Köşelerini Belirleyelim:
  • Birinci çemberin merkezine $M_1$ diyelim.
  • İkinci çemberin merkezine $M_2$ diyelim.
  • Çemberlerin kesişim noktalarından birine $K$ diyelim.
  • Oluşturulacak üçgen $\triangle M_1 M_2 K$ üçgenidir.
• Üçgenin Kenar Uzunluklarını Bulalım:
  • Üçgenin bir kenarı, çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklık bize $12 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Yani, $M_1 M_2 = 12 \text{ cm}$.
  • Üçgenin ikinci kenarı, birinci çemberin merkezi ($M_1$) ile kesişim noktası ($K$) arasındaki uzaklıktır. Tanım gereği, bu uzaklık birinci çemberin yarıçapına eşittir. Yani, $M_1 K = r_1 = 6 \text{ cm}$.
  • Üçgenin üçüncü kenarı, ikinci çemberin merkezi ($M_2$) ile kesişim noktası ($K$) arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklık da ikinci çemberin yarıçapına eşittir. Yani, $M_2 K = r_2 = 9 \text{ cm}$.
• Sonucu Değerlendirelim: Oluşturulan $\triangle M_1 M_2 K$ üçgeninin kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$'dir.

Cevap A seçeneğidir.