Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm ve $m(\widehat{BAC}) = 60^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $2\sqrt{13}$
B) $2\sqrt{15}$
C) $3\sqrt{10}$
D) $4\sqrt{7}$
E) $5\sqrt{5}$
Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısı arasındaki ilişkiyi ifade eder.
- Adım 1: Kosinüs Teoremi'ni hatırlayalım. $ABC$ üçgeninde, $a$, $b$ ve $c$ kenar uzunlukları ve $\alpha$ açısı $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$ şeklinde ifade edilir.
- Adım 2: Verilenleri yerleştirelim. Bizim sorumuzda, $|AB| = c = 6$ cm, $|AC| = b = 8$ cm ve $m(\widehat{BAC}) = \alpha = 60^\circ$. Bizden istenen $|BC| = a$ kenarının uzunluğu.
- Adım 3: Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım.
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)$ formülünde verilenleri yerine yazarsak:
$a^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$
- Adım 4: $\cos(60^\circ)$ değerini bulalım. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
- Adım 5: İşlemi tamamlayalım.
$a^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$
$a^2 = 100 - 48$
$a^2 = 52$
- Adım 6: Kök alalım. $a = \sqrt{52}$
- Adım 7: Kök içindeki sayıyı sadeleştirelim. $a = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$
Bu nedenle, $|BC|$ kenarının uzunluğu $2\sqrt{13}$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
