11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 2

$f(x) = 2\tan(3x + \pi/6) - 5$ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

A) $\pi/6$
B) $\pi/3$
C) $\pi/2$
D) $2\pi/3$
E) $\pi$

• Adım 1: Tanjant fonksiyonunun genel periyot kuralını hatırlayalım.

  Genel olarak, $f(x) = a \tan(bx + c) + d$ şeklindeki bir tanjant fonksiyonunun esas periyodu $T = \frac{\pi}{|b|}$ formülü ile bulunur. Bu formülde $a$ ve $d$ katsayıları fonksiyonun genliğini ve dikey kaymasını etkiler, ancak periyodu etkilemezler. $b$ katsayısı, fonksiyonun yatay sıkışma veya genişlemesini belirler ve periyodu doğrudan etkiler. $c$ katsayısı ise fonksiyonun yatay kaymasını (faz kayması) belirler, o da periyodu etkilemez.

  Unutmayın, $\tan(x)$ fonksiyonunun temel periyodu $\pi$'dir. Bu nedenle, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarından farklı olarak, tanjant için formülde $2\pi$ yerine $\pi$ kullanırız.

• Adım 2: Verilen fonksiyondaki $b$ katsayısını belirleyelim.

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 2\tan(3x + \pi/6) - 5$ şeklindedir. Bu fonksiyonu genel form olan $f(x) = a \tan(bx + c) + d$ ile karşılaştırdığımızda, $x$'in katsayısı olan $b$ değerinin $3$ olduğunu görürüz. Diğer katsayılar $a=2$, $c=\pi/6$ ve $d=-5$'tir, ancak periyot hesaplaması için sadece $b$ katsayısına ihtiyacımız vardır.

• Adım 3: Periyot formülünü uygulayalım.

  Periyot formülümüz $T = \frac{\pi}{|b|}$ idi. Bulduğumuz $b = 3$ değerini bu formülde yerine koyalım.

  $T = \frac{\pi}{|3|}$

• Adım 4: Esas periyodu hesaplayalım.

  $|3|$ değeri $3$'e eşittir. Bu durumda periyot hesaplaması şu şekilde olur:

  $T = \frac{\pi}{3}$

  Böylece fonksiyonun esas periyodunu $\frac{\pi}{3}$ olarak bulmuş oluruz.

• Adım 5: Seçeneklerle karşılaştıralım.

  Bulduğumuz esas periyot $\frac{\pi}{3}$'tür. Verilen seçeneklere baktığımızda, B seçeneğinin $\pi/3$ olduğunu görüyoruz.

Cevap B seçeneğidir.