Bir fonksiyonun grafiğinin $y$-eksenine göre simetrik olması, o fonksiyonun çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bir $f(x)$ fonksiyonunun çift fonksiyon olması için, tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir. Şimdi seçeneklerdeki fonksiyonları bu kurala göre inceleyelim:
- A) $y = \sin x$
- $f(x) = \sin x$ fonksiyonunu ele alalım.
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = \sin(-x)$.
- Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\sin(-x) = -\sin x$'tir.
- Bu durumda $f(-x) = -\sin x = -f(x)$ olur.
- $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon denir ve grafikleri orijine göre simetriktir. Dolayısıyla, $y = \sin x$ fonksiyonunun grafiği $y$-eksenine göre simetrik değildir.
- B) $y = \cos x$
- $f(x) = \cos x$ fonksiyonunu ele alalım.
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = \cos(-x)$.
- Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\cos(-x) = \cos x$'tir.
- Bu durumda $f(-x) = \cos x = f(x)$ olur.
- $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon denir ve grafikleri $y$-eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla, $y = \cos x$ fonksiyonunun grafiği $y$-eksenine göre simetriktir.
- C) $y = \tan x$
- $f(x) = \tan x$ fonksiyonunu ele alalım.
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = \tan(-x)$.
- Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\tan(-x) = -\tan x$'tir.
- Bu durumda $f(-x) = -\tan x = -f(x)$ olur.
- $y = \tan x$ fonksiyonu tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir. Dolayısıyla, $y$-eksenine göre simetrik değildir.
- D) $y = \cot x$
- $f(x) = \cot x$ fonksiyonunu ele alalım.
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = \cot(-x)$.
- Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $\cot(-x) = -\cot x$'tir.
- Bu durumda $f(-x) = -\cot x = -f(x)$ olur.
- $y = \cot x$ fonksiyonu tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir. Dolayısıyla, $y$-eksenine göre simetrik değildir.
- E) $y = x^3$
- $f(x) = x^3$ fonksiyonunu ele alalım.
- $f(-x)$ değerini bulalım: $f(-x) = (-x)^3$.
- $(-x)^3 = -x^3$'tür.
- Bu durumda $f(-x) = -x^3 = -f(x)$ olur.
- $y = x^3$ fonksiyonu tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir. Dolayısıyla, $y$-eksenine göre simetrik değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $y = \cos x$ fonksiyonunun $f(-x) = f(x)$ koşulunu sağladığını, yani çift fonksiyon olduğunu gördük. Bu nedenle grafiği $y$-eksenine göre simetriktir.
Cevap B seçeneğidir.
