11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

Kenar uzunlukları $a=7$ cm, $b=8$ cm ve $c=13$ cm olan bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{C})$ açısının kosinüsü kaçtır?

A) $-\frac{1}{2}$
B) $-\frac{1}{4}$
C) $0$
D) $\frac{1}{4}$
E) $\frac{1}{2}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgende belirli bir açının kosinüsünü bulmamız isteniyor. Bu tür problemler için en uygun araç, Kosinüs Teoremi'dir. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile açılarının kosinüsleri arasındaki ilişkiyi açıklar.

• Öncelikle, bize verilen kenar uzunluklarını ve bulmamız gereken açıyı belirleyelim:
  • $a = 7$ cm (A açısının karşısındaki kenar)
  • $b = 8$ cm (B açısının karşısındaki kenar)
  • $c = 13$ cm (C açısının karşısındaki kenar)
  • Aradığımız değer: $m(\widehat{C})$ açısının kosinüsü, yani $\cos(C)$.
• Kosinüs Teoremi'nin $C$ açısı için olan formülü şöyledir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• Şimdi verilen kenar uzunluklarını bu formülde yerine yazalım:

  $13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(C)$

• Kenar uzunluklarının karelerini hesaplayalım:
  • $13^2 = 169$
  • $7^2 = 49$
  • $8^2 = 64$
• Bu değerleri denklemde yerine koyalım:

  $169 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(C)$

• Denklemin sağ tarafındaki sayıları toplayalım ve çarpma işlemlerini yapalım:
  • $49 + 64 = 113$
  • $2 \cdot 7 \cdot 8 = 14 \cdot 8 = 112$
  Böylece denklemimiz şu hale gelir:

  $169 = 113 - 112 \cdot \cos(C)$

• Şimdi $\cos(C)$ terimini yalnız bırakmak için $113$'ü denklemin sol tarafına atalım:

  $169 - 113 = -112 \cdot \cos(C)$

• Çıkarma işlemini yapalım:

  $56 = -112 \cdot \cos(C)$

• Son olarak, $\cos(C)$'yi bulmak için her iki tarafı $-112$'ye bölelim:

  $\cos(C) = \frac{56}{-112}$

• Kesri sadeleştirelim. $56$, $112$'nin yarısıdır:

  $\cos(C) = -\frac{1}{2}$

Böylece $m(\widehat{C})$ açısının kosinüsünü $-\frac{1}{2}$ olarak bulmuş olduk. Bu değer, seçenekler arasında A şıkkında yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.