11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

$f(x) = 5\tan\left(\frac{x}{3}+1\right) - 7$ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

A) $\frac{\pi}{3}$
B) $\pi$
C) $3\pi$
D) $6\pi$
E) $9\pi$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, trigonometrik fonksiyonlardan biri olan tanjant fonksiyonunun esas periyodunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bir fonksiyonun esas periyodu, fonksiyonun kendini tekrar etmeye başladığı en küçük pozitif aralıktır.

• Adım 1: Tanjant Fonksiyonunun Temel Periyodunu Hatırlayalım.

  Tanjant fonksiyonu, belirli aralıklarla kendini tekrar eden periyodik bir fonksiyondur. Temel $\tan(x)$ fonksiyonunun esas periyodu $\pi$'dir. Yani, $\tan(x) = \tan(x+\pi)$ eşitliği geçerlidir. Bu bilgi, daha karmaşık tanjant fonksiyonlarının periyodunu bulmak için bize bir başlangıç noktası sağlar.

• Adım 2: Genel Bir Tanjant Fonksiyonunun Periyot Formülünü Belirleyelim.

  Genel olarak, $f(x) = a\tan(bx+c) + d$ şeklindeki bir tanjant fonksiyonunun esas periyodu $T = \frac{\pi}{|b|}$ formülü ile bulunur. Bu formülde:

  • $a$ katsayısı (fonksiyonun genliğini veya dikey esnemesini/sıkışmasını etkiler) periyodu değiştirmez.
  • $c$ sabiti (faz kaymasını etkiler) periyodu değiştirmez.
  • $d$ sabiti (dikey ötelemeyi etkiler) periyodu değiştirmez.
  • Periyodu etkileyen tek katsayı, $x$'in önündeki $b$ katsayısıdır. Mutlak değer $|b|$ kullanmamızın nedeni, periyodun her zaman pozitif bir değer olması gerektiğidir.
• Adım 3: Verilen Fonksiyonu Genel Form ile Karşılaştıralım.

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 5\tan\left(\frac{x}{3}+1\right) - 7$ şeklindedir. Bu fonksiyonu genel form olan $f(x) = a\tan(bx+c) + d$ ile karşılaştıralım:

  • $a = 5$
  • $b = \frac{1}{3}$ (çünkü $\frac{x}{3}$ ifadesi $\frac{1}{3}x$ olarak yazılabilir)
  • $c = 1$
  • $d = -7$

  Gördüğümüz gibi, periyodu bulmak için ihtiyacımız olan tek değer $b = \frac{1}{3}$'tür.

• Adım 4: Periyot Formülünü Uygulayalım.

  Şimdi, $b = \frac{1}{3}$ değerini periyot formülü $T = \frac{\pi}{|b|}$ içine yerleştirelim:

  $T = \frac{\pi}{\left|\frac{1}{3}\right|}$

  $T = \frac{\pi}{\frac{1}{3}}$

• Adım 5: Periyodu Hesaplayalım.

  Kesirli bir ifadeyi bölmek için, paydadaki kesri ters çevirip çarparız:

  $T = \pi \cdot 3$

  $T = 3\pi$

  Buna göre, verilen fonksiyonun esas periyodu $3\pi$'dir.

• Adım 6: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım.

  Bulduğumuz esas periyot $3\pi$'dir. Seçeneklere baktığımızda:

  • A) $\frac{\pi}{3}$
  • B) $\pi$
  • C) $3\pi$
  • D) $6\pi$
  • E) $9\pi$

  Hesapladığımız değer C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.