11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

Analitik düzlemde $A(-2, 3)$ ve $B(8, -7)$ noktalarını birleştiren $AB$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{3}$ oranında içten bölen $C$ noktasının koordinatları nedir?

A) $(1, -1)$
B) $(2, -1)$
C) $(2, 0)$
D) $(3, -2)$
E) $(4, -3)$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda analitik düzlemde verilen iki noktayı belirli bir oranda içten bölen üçüncü bir noktanın koordinatlarını bulmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Soruyu Anlama ve Verilenleri Belirleme

  Bize $A(-2, 3)$ ve $B(8, -7)$ noktaları verilmiş. Bu iki noktayı birleştiren $AB$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{2}{3}$ oranında içten bölen $C$ noktasının koordinatlarını bulmamız isteniyor.

  Burada:

  • $A$ noktasının koordinatları $(x_1, y_1) = (-2, 3)$
  • $B$ noktasının koordinatları $(x_2, y_2) = (8, -7)$
  • Bölme oranı $\frac{m}{n} = \frac{2}{3}$ olarak verilmiş, yani $m=2$ ve $n=3$ alabiliriz.
• 2. Adım: İçten Bölme Formülünü Hatırlama

  Analitik düzlemde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında içten bölen $C(x, y)$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

  • $x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
  • $y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$
• 3. Adım: $C$ Noktasının $x$ Koordinatını Hesaplama

  Formülde verilen değerleri yerine yazalım:

  • $x_1 = -2$, $x_2 = 8$
  • $m = 2$, $n = 3$
  • $x = \frac{3 \cdot (-2) + 2 \cdot 8}{2+3}$
  • $x = \frac{-6 + 16}{5}$
  • $x = \frac{10}{5}$
  • $x = 2$
• 4. Adım: $C$ Noktasının $y$ Koordinatını Hesaplama

  Şimdi de $y$ koordinatı için aynı işlemi yapalım:

  • $y_1 = 3$, $y_2 = -7$
  • $m = 2$, $n = 3$
  • $y = \frac{3 \cdot 3 + 2 \cdot (-7)}{2+3}$
  • $y = \frac{9 - 14}{5}$
  • $y = \frac{-5}{5}$
  • $y = -1$
• 5. Adım: $C$ Noktasının Koordinatlarını Belirleme ve Seçeneklerle Karşılaştırma

  Yaptığımız hesaplamalara göre $C$ noktasının koordinatları $(2, -1)$ olarak bulunur.

  Şimdi bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $(1, -1)$
  • B) $(2, -1)$
  • C) $(2, 0)$
  • D) $(3, -2)$
  • E) $(4, -3)$

  Bulduğumuz $(2, -1)$ koordinatları B seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.