11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

$3x - 4y + 7 = 0$ doğrusuna dik olan ve $(2, 1)$ noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $4x + 3y - 11 = 0$
B) $4x + 3y - 10 = 0$
C) $3x + 4y - 10 = 0$
D) $3x + 4y - 11 = 0$
E) $4x - 3y - 5 = 0$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek doğru cevaba ulaşalım. Bir doğruya dik olan ve belirli bir noktadan geçen doğrunun denklemini bulmak için eğimler arasındaki ilişkiyi ve nokta-eğim formülünü kullanacağız.

• Adım 1: Verilen Doğrunun Eğimini Bulma

  İlk olarak, $3x - 4y + 7 = 0$ doğrusunun eğimini bulalım. Bir doğrunun denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklinde verildiğinde, eğim $m = -\frac{A}{B}$ formülüyle bulunur. Ya da denklemi $y = mx + b$ şekline dönüştürebiliriz.

  • Denklemi $y = mx + b$ şekline dönüştürelim:
  • $3x - 4y + 7 = 0$
  • $4y = 3x + 7$
  • $y = \frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$
  • Bu durumda, verilen doğrunun eğimi $m_1 = \frac{3}{4}$'tür.

• Adım 2: Dik Doğrunun Eğimini Bulma

  İki doğru birbirine dik ise, eğimlerinin çarpımı $-1$'dir. Yani $m_1 \cdot m_2 = -1$.

  • Bizim aradığımız doğrunun eğimi $m_2$ olsun.
  • $\frac{3}{4} \cdot m_2 = -1$
  • $m_2 = -\frac{4}{3}$
  • Buna göre, aradığımız doğrunun eğimi $-\frac{4}{3}$'tür.

• Adım 3: Nokta-Eğim Formülünü Kullanarak Doğru Denklemini Bulma

  Bir doğrunun eğimi $m$ ve geçtiği bir nokta $(x_1, y_1)$ biliniyorsa, doğru denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur.

  • Eğimimiz $m = -\frac{4}{3}$ ve geçtiği noktamız $(x_1, y_1) = (2, 1)$'dir.
  • Bu değerleri formülde yerine yazalım:
  • $y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 2)$

• Adım 4: Denklemi Standart Formda Düzenleme

  Şimdi denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklinde düzenleyelim ve seçeneklerle karşılaştıralım.

  • $y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 2)$
  • Her iki tarafı $3$ ile çarpalım:
  • $3(y - 1) = -4(x - 2)$
  • Denklemi açalım:
  • $3y - 3 = -4x + 8$
  • Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım:
  • $4x + 3y - 3 - 8 = 0$
  • $4x + 3y - 11 = 0$

Bulduğumuz denklem $4x + 3y - 11 = 0$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda bu denklemin A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.