11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 5

Bir ABC üçgeninde $a=3$ cm, $b=5$ cm ve $C=60^\circ$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) $\sqrt{19}$
B) $\sqrt{21}$
C) $\sqrt{23}$
D) $\sqrt{27}$
E) $\sqrt{31}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü verildiğinde, üçüncü kenarın uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Bu tür problemler için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız.

• 1. Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Bir ABC üçgenimiz var. Bize şu bilgiler verilmiş:

  • $a$ kenarının uzunluğu: $a = 3$ cm
  • $b$ kenarının uzunluğu: $b = 5$ cm
  • $C$ açısının ölçüsü: $C = 60^\circ$

  Bizden istenen ise $c$ kenarının uzunluğunu bulmak.

• 2. Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:

  Kosinüs Teoremi, bir üçgende herhangi bir kenarın karesinin, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunduğunu söyler. $c$ kenarı için Kosinüs Teoremi şu şekildedir:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

• 3. Verilen Değerleri Formülde Yerine Yazalım:

  Şimdi, bize verilen $a$, $b$ ve $C$ değerlerini Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:

  $c^2 = (3)^2 + (5)^2 - 2 \cdot (3) \cdot (5) \cdot \cos(60^\circ)$

• 4. Hesaplamaları Yapalım:

  Önce kareleri ve çarpımları hesaplayalım:

  • $3^2 = 9$
  • $5^2 = 25$
  • $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$

  Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $c^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(60^\circ)$

• 5. $\cos(60^\circ)$ Değerini Kullanalım:

  Trigonometriden bildiğimiz üzere, $\cos(60^\circ)$ değeri $rac{1}{2}$'ye eşittir.

  Bu değeri formülde yerine yazalım:

  $c^2 = 9 + 25 - 30 \cdot rac{1}{2}$

• 6. İşlemleri Tamamlayalım:

  Şimdi kalan işlemleri yapalım:

  • $9 + 25 = 34$
  • $30 \cdot rac{1}{2} = 15$

  Bu değerleri yerine koyduğumuzda:

  $c^2 = 34 - 15$

  $c^2 = 19$

• 7. $c$ Kenarının Uzunluğunu Bulalım:

  $c^2 = 19$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $c = \sqrt{19}$ cm

Böylece $c$ kenarının uzunluğunu $\sqrt{19}$ cm olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.