Analitik düzlemde $A(1, 3)$ ve $B(4, 0)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını dıştan $AP/PB = 2/1$ oranında bölen $P$ noktasının koordinatları nedir?
A) $(7, -3)$
B) $(7, -2)$
C) $(6, -3)$
D) $(6, -2)$
E) $(5, -3)$
Sevgili öğrenciler, bu soruda analitik düzlemde iki noktayı birleştiren bir doğru parçasını dıştan bölen bir noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken doğru formülü kullanmak ve işlem adımlarını dikkatlice takip etmek çok önemlidir.
- Dıştan Bölme Kavramını Anlayalım: Bir $AB$ doğru parçasını dıştan bölen bir $P$ noktası, $A$ ve $B$ noktalarının dışında, ancak $AB$ doğrusu üzerinde yer alır. $AP/PB = m/n$ oranı, $P$ noktasının $A$'ya olan uzaklığının, $P$ noktasının $B$'ye olan uzaklığına oranını ifade eder. Eğer $P$ noktası $AB$ doğru parçasının dışında ve $B$ tarafında ise, $AP$ uzunluğu $AB + BP$ şeklinde düşünülebilir. Eğer $P$ noktası $AB$ doğru parçasının dışında ve $A$ tarafında ise, $BP$ uzunluğu $BA + AP$ şeklinde düşünülebilir. Bu soruda $AP/PB = 2/1$ olduğundan, $P$ noktası $B$ tarafında yer alacaktır. Yani $A$, $B$, $P$ noktaları bu sırayla doğru üzerinde olacaktır.
- Dıştan Bölme Formülünü Hatırlayalım: Analitik düzlemde $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını dıştan $AP/PB = m/n$ oranında bölen $P(x, y)$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:
- $x = \frac{m \cdot x_2 - n \cdot x_1}{m - n}$
- $y = \frac{m \cdot y_2 - n \cdot y_1}{m - n}$
- Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- $A(x_1, y_1) = A(1, 3)$
- $B(x_2, y_2) = B(4, 0)$
- Oran $AP/PB = 2/1$ olduğundan $m = 2$ ve $n = 1$.
- $P$ Noktasının $x$-koordinatını Hesaplayalım: Formülü kullanarak $x$ değerini bulalım:
- $x = \frac{m \cdot x_2 - n \cdot x_1}{m - n}$
- $x = \frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 1}{2 - 1}$
- $x = \frac{8 - 1}{1}$
- $x = \frac{7}{1}$
- $x = 7$
- $P$ Noktasının $y$-koordinatını Hesaplayalım: Formülü kullanarak $y$ değerini bulalım:
- $y = \frac{m \cdot y_2 - n \cdot y_1}{m - n}$
- $y = \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 3}{2 - 1}$
- $y = \frac{0 - 3}{1}$
- $y = \frac{-3}{1}$
- $y = -3$
- $P$ Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim: Yaptığımız hesaplamalar sonucunda $P$ noktasının koordinatları $P(7, -3)$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
