8 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
A) 24Bu problem, belirli bir gruptan belirli sayıda kişiyi seçme işlemidir ve seçilen kişilerin sırasının önemli olmadığı durumlarda kombinasyon kullanırız. Yani, "Ayşe, Burak, Cem" ekibi ile "Burak, Cem, Ayşe" ekibi aynı ekiptir.
Öncelikle, problemde verilen bilgileri belirleyelim:
Sıralamanın önemli olmadığı seçim problemlerinde kombinasyon formülünü kullanırız. Kombinasyon formülü şu şekildedir:
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Burada '$n!$' (n faktöriyel), $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ anlamına gelir.
Şimdi, verilen değerleri formülde yerine yazalım:
$C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!}$
Parantez içindeki işlemi yapalım:
$C(8, 3) = \frac{8!}{3!5!}$
Faktöriyelleri açarak sadeleştirme yapalım. $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ ve $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ olduğu için $8!$'i $5!$'e kadar açabiliriz:
$C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \times 5!}$
Pay ve paydadaki $5!$ terimlerini sadeleştirelim:
$C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}$
$3!$ değerini hesaplayalım: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Şimdi değerleri yerine yazıp çarpma ve bölme işlemlerini yapalım:
$C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6}$
Paydaki 6 ile paydadaki 6'yı sadeleştirebiliriz:
$C(8, 3) = 8 \times 7$
Sonucu bulalım:
$C(8, 3) = 56$
Yani, 8 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir ekip 56 farklı şekilde oluşturulabilir.
Cevap B seçeneğidir.
