Bir yarışmada 5 ödül dağıtılacaktır. Ödüller farklı olduğuna göre, bu ödüller 10 yarışmacı arasından kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
A) 252Bu tür sorular, olasılık ve kombinasyon konularının temelini oluşturur. Ödüllerin farklı olması ve yarışmacıların her bir ödüle farklı şekillerde atanabilmesi, bu soruyu bir permütasyon problemi haline getirir. Şimdi adım adım bu soruyu nasıl çözeceğimize bakalım:
Elimizde 10 yarışmacı ve dağıtılacak 5 farklı ödül var. Ödüllerin "farklı" olması çok önemlidir. Bu, birinci ödülün, ikinci ödülden farklı olduğu anlamına gelir. Ayrıca, bir yarışmacının birden fazla ödül alamayacağını varsayarız (aksi belirtilmedikçe standart kabul budur). Bu durumda, ödüllerin hangi yarışmacılara verildiği ve hangi ödülün kime verildiği önemlidir. Bu da bizi permütasyon kavramına götürür.
İlk ödülü (örneğin, altın madalya) verebileceğimiz 10 farklı yarışmacı vardır. Yani, ilk ödül için 10 seçeneğimiz var.
İlk ödülü bir yarışmacıya verdikten sonra, geriye 9 yarışmacı kalır. İkinci ödülü (örneğin, gümüş madalya) bu kalan 9 yarışmacıdan birine verebiliriz. Yani, ikinci ödül için 9 seçeneğimiz var.
Bu mantıkla devam edersek:
Üçüncü ödül için geriye kalan 8 yarışmacıdan birini seçebiliriz. Yani 8 seçeneğimiz var.
Dördüncü ödül için geriye kalan 7 yarışmacıdan birini seçebiliriz. Yani 7 seçeneğimiz var.
Beşinci ödül için geriye kalan 6 yarışmacıdan birini seçebiliriz. Yani 6 seçeneğimiz var.
Toplam farklı dağıtım şekillerini bulmak için her adımda sahip olduğumuz seçenekleri çarpmamız gerekir. Bu, $n$ farklı eleman arasından $r$ tanesini sıralı bir şekilde seçme işlemi olan permütasyon problemidir ve $P(n, r)$ formülü ile de ifade edilebilir. Burada $n=10$ (toplam yarışmacı sayısı) ve $r=5$ (dağıtılacak ödül sayısı) dir.
Hesaplama şu şekildedir:
$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$
Şimdi çarpma işlemini adım adım yapalım:
$10 \times 9 = 90$
$90 \times 8 = 720$
$720 \times 7 = 5040$
$5040 \times 6 = 30240$
Bu durumda, ödüller 30240 farklı şekilde dağıtılabilir.
Cevap C seçeneğidir.
