Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür sıralama problemleri, kombinatorik dediğimiz matematiğin eğlenceli bir alanına girer. Adım adım düşünerek bu soruyu kolayca çözebiliriz. İşte çözüm yolumuz:
- Öncelikle, 6 farklı renkteki bilyenin düz bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulalım. Eğer hiçbir kısıtlama olmasaydı, 6 farklı nesne $6!$ (6 faktöriyel) farklı şekilde sıralanabilirdi.
- $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ farklı diziliş vardır. Bu, toplam olası diziliş sayısıdır.
- Şimdi, sorunun bizden istediği "Mavi ve kırmızı bilyelerin yan yana olmadığı" durumu bulmak için, tam tersi durumu, yani "Mavi ve kırmızı bilyelerin yan yana olduğu" durumları hesaplayıp toplam diziliş sayısından çıkaracağız. Bu yönteme tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarma yöntemi denir.
- Mavi ve kırmızı bilyelerin yan yana olduğu durumları bulmak için, Mavi ve Kırmızı bilyeyi tek bir "blok" veya "grup" olarak düşünelim. Yani (Mavi Kırmızı) şeklinde bir grup oluşturalım.
- Artık elimizde 5 "nesne" varmış gibi düşünebiliriz: bu (Mavi Kırmızı) grubu ve diğer 4 bilye. Bu 5 nesne kendi aralarında $5!$ farklı şekilde sıralanabilir.
- $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ farklı sıralama demektir.
- Ancak, oluşturduğumuz (Mavi Kırmızı) grubunun içindeki bilyeler de kendi aralarında yer değiştirebilir. Yani grup (Mavi Kırmızı) olabileceği gibi (Kırmızı Mavi) de olabilir. Bu da $2!$ farklı sıralama demektir.
- $2! = 2 \times 1 = 2$ farklı sıralama vardır.
- Dolayısıyla, Mavi ve Kırmızı bilyelerin yan yana olduğu toplam diziliş sayısı $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ olacaktır.
- Son olarak, Mavi ve Kırmızı bilyelerin yan yana olmadığı diziliş sayısını bulmak için, toplam diziliş sayısından Mavi ve Kırmızı bilyelerin yan yana olduğu diziliş sayısını çıkarırız.
- Yan yana olmadığı diziliş sayısı = Toplam diziliş sayısı - Yan yana olduğu diziliş sayısı
- Yan yana olmadığı diziliş sayısı = $720 - 240 = 480$.
Bu durumda, Mavi ve kırmızı bilyelerin yan yana olmadığı 480 farklı diziliş vardır.
Cevap C seçeneğidir.
