8. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1

🎓 8. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1 - Ders Notu

Sevgili öğrenciler, bu ders notu 8. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı sınavınızda karşılaşabileceğiniz temel konuları sade ve anlaşılır bir dille özetlemektedir. Sınavınızda başarılar dileriz!

📌 Üslü İfadeler

Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasının kısa yoludur. Taban ve üs olmak üzere iki kısımdan oluşur.

• Tanım: $a^n$ ifadesinde $a$ taban, $n$ ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır. $a^n$ demek, $a$ sayısını $n$ kere kendisiyle çarpmak demektir. Örneğin, $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
• Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersini alıp üssü pozitif yapmak demektir. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$'dir. Örneğin, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
• Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. $(a^m)^n = a^{m \times n}$'dir. Örneğin, $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.
• Çarpma İşlemi: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: $a^m \times a^n = a^{m+n}$. Üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılır, ortak üs yazılır: $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.
• Bölme İşlemi: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Üsleri aynı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünür, ortak üs yazılır: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
• 10'un Kuvvetleri ve Bilimsel Gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıları daha anlaşılır yazmak için 10'un kuvvetleri kullanılır. Bir sayının bilimsel gösterimi, $1 \le |a| < 10$ olmak üzere $a \times 10^n$ şeklindedir. Örneğin, $300.000.000 = 3 \times 10^8$.

💡 İpucu: Negatif üs, sayıyı negatif yapmaz, sadece çarpmaya göre tersini alır! Örneğin, $(-2)^3 = -8$ iken, $2^{-3} = \frac{1}{8}$'dir.

📌 Kareköklü İfadeler

Kareköklü ifadeler, karesi verilen bir sayıya eşit olan sayıyı bulma işlemidir.

• Tanım: Karesi $a$ olan pozitif sayıya $a$'nın karekökü denir ve $\sqrt{a}$ ile gösterilir. Örneğin, $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5^2=25$.
• Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayılar denir. (Örn: $1, 4, 9, 16, 25, ...$) Bu sayıların karekökü bir tam sayıdır.
• $a\sqrt{b}$ Şeklinde Yazma: Karekök içindeki bir sayıyı, bir kısmı kök dışına çıkacak şekilde çarpanlarına ayırabiliriz. $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$'dir. Örneğin, $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
• Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme: Karekök içindeki sayılar kendi aralarında, kök dışındaki sayılar kendi aralarında çarpılır veya bölünür. $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ ve $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$'dir.
• Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma: Sadece kök içleri aynı olan kareköklü ifadeler toplanıp çıkarılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanır veya çıkarılır, kök içi aynı kalır. Örneğin, $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
• Bir Sayıyı Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayı, karesi alınarak kök içine alınır. $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \times b}$'dir. Örneğin, $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \times 3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$.

⚠️ Dikkat: Karekök içindeki sayı asla negatif olamaz! $\sqrt{-4}$ diye bir gerçek sayı yoktur.

📌 Gerçek Sayılar (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar)

Sayılar kümesini genişleterek, günlük hayatta karşımıza çıkan tüm sayıları ifade edebiliriz.

• Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da devirlidir. Örneğin, $0.5 = \frac{1}{2}$, $3 = \frac{3}{1}$, $0.333... = \frac{1}{3}$.
• İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuz ve devirsizdir. Örneğin, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$ (Pi sayısı).
• Gerçek (Reel) Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki her noktaya bir gerçek sayı karşılık gelir.

💡 İpucu: Karekök dışına tam sayı olarak çıkamayan sayılar (örn: $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$) irrasyonel sayılardır. Ancak $\sqrt{9}=3$ bir rasyonel sayıdır.

📌 Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

Cebirsel ifadeler, içinde en az bir değişken ve işlem bulunan matematiksel ifadelerdir. Özdeşlikler ise değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklerdir.

• Cebirsel İfadelerde Çarpma: Bir terimli ile çok terimliyi veya çok terimli ile çok terimliyi çarparken dağılma özelliğini kullanırız. Örneğin, $2x(x+3) = 2x^2 + 6x$. $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$.
• Özdeşlikler:
  • Tam Kare Özdeşliği: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ve $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Örneğin, $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
  • İki Kare Farkı Özdeşliği: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Örneğin, $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
• Çarpanlara Ayırma:
  • Ortak Çarpan Parantezine Alma: Bir cebirsel ifadedeki tüm terimlerde ortak olan çarpanı belirleyip parantez dışına yazmaktır. Örneğin, $3x^2 + 6x = 3x(x+2)$.
  • Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma: Tam kare veya iki kare farkı özdeşliklerini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırma. Örneğin, $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$.

⚠️ Dikkat: $(a+b)^2$ ile $a^2+b^2$ aynı şeyler değildir! $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ unutmayın.

📌 Doğrusal Denklemler

Doğrusal denklemler, en yüksek derecesi 1 olan, genellikle $ax+b=0$ veya $y=ax+b$ şeklinde yazılabilen denklemlerdir. Grafikleri bir doğru oluşturur.

• Bir Bilinmeyenli Doğrusal Denklem Çözme: Bilinmeyeni (genellikle $x$) yalnız bırakarak denklemi çözme. Eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi yapmak dengeyi bozmaz. Örneğin, $2x+5=11 \implies 2x=6 \implies x=3$.
• Koordinat Sistemi: Yatay eksen ($x$-ekseni) ve dikey eksen ($y$-ekseni) ile bir noktanın konumunu belirlediğimiz sistemdir. Bir nokta $(x, y)$ sıralı ikilisi ile gösterilir.
• Doğrusal Denklemlerin Grafiği: $y=ax+b$ şeklindeki denklemlerin grafiği bir doğrudur. Grafiği çizmek için en az iki nokta bulmak yeterlidir. Genellikle $x=0$ için $y$ değerini ve $y=0$ için $x$ değerini buluruz.
  • $y=ax$ şeklindeki doğrular orijinden $(0,0)$ geçer.
  • $y=b$ şeklindeki doğrular $x$-eksenine paraleldir.
  • $x=a$ şeklindeki doğrular $y$-eksenine paraleldir.
• Eğim: Bir doğrunun dikliğini veya yatıklığını gösteren değerdir. $y=ax+b$ denkleminde $a$ sayısı doğrunun eğimidir. Eğim $=\frac{\text{dikey değişim}}{\text{yatay değişim}}$'dir.

💡 İpucu: Denklem çözerken, bir terimi eşitliğin diğer tarafına atarken işaretini değiştirmeyi unutmayın!