Bir $ABC$ üçgeninde $BC$ kenarının uzunluğu $12$ cm'dir. Bu kenara ait yükseklik $h_a$ olmak üzere, üçgenin alanı $48$ $\text{cm}^2$'dir. Eğer $BC$ kenarının uzunluğu sabit kalıp, bu kenara ait yükseklik $2$ cm artırılırsa yeni alan kaç $\text{cm}^2$ olur?
A) 54Sevgili öğrenciler, bu tür üçgen alanı problemlerini çözmek için adım adım ilerlemek en doğrusudur. Haydi birlikte soruyu çözelim!
Bir üçgenin alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
Alan $= \frac{1}{2} \times \text{Taban Uzunluğu} \times \text{Yükseklik}$
Soruda bize üçgenin alanı $48$ $\text{cm}^2$ ve $BC$ kenarının uzunluğu (taban) $12$ cm olarak verilmiş. Bu bilgileri alan formülünde yerine koyarak $h_a$ yüksekliğini bulabiliriz:
$48 = \frac{1}{2} \times 12 \times h_a$
Denklemi basitleştirelim:
$48 = 6 \times h_a$
$h_a$ değerini bulmak için her iki tarafı $6$'ya bölelim:
$h_a = \frac{48}{6}$
$h_a = 8$ cm
Demek ki, başlangıçtaki yüksekliğimiz $8$ cm imiş.
Soruda, $BC$ kenarının uzunluğu sabit kalırken, bu kenara ait yüksekliğin $2$ cm artırıldığı belirtiliyor. O zaman yeni yüksekliği bulalım:
Yeni Yükseklik $= \text{Eski Yükseklik} + 2$ cm
Yeni Yükseklik $= 8 + 2 = 10$ cm
Şimdi elimizde yeni bir yükseklik ($10$ cm) ve sabit bir taban uzunluğu ($12$ cm) var. Bu değerleri tekrar alan formülünde kullanarak yeni alanı bulabiliriz:
Yeni Alan $= \frac{1}{2} \times \text{Taban Uzunluğu} \times \text{Yeni Yükseklik}$
Yeni Alan $= \frac{1}{2} \times 12 \times 10$
Yeni Alan $= 6 \times 10$
Yeni Alan $= 60$ $\text{cm}^2$
Bu durumda, üçgenin yeni alanı $60$ $\text{cm}^2$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
