Bir $N$ doğal sayısının asal çarpanları $2, 3, 5$ ve $N$'nin pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 24'tür. Buna göre, $N$ sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 180Bir $N$ doğal sayısının asal çarpanları $2, 3, 5$ olarak verilmiştir. Bu durumda $N$ sayısı, bu asal çarpanların belirli kuvvetlerinin çarpımı şeklinde ifade edilebilir. Yani $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ formundadır. Burada $a, b, c$ birer pozitif tam sayı olmalıdır, çünkü $2, 3, 5$ sayının asal çarpanlarıdır, dolayısıyla her biri en az bir kez çarpan olarak bulunmalıdır.
Adım 1: Bölen Sayısı Formülünü Uygulama
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(e_1+1)(e_2+1)\ldots(e_k+1)$ formülü ile bulunur.
Bizim durumumuzda $N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ olduğu için, $N$'nin pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a+1)(b+1)(c+1)$ olacaktır.
Soruda bu sayının $24$ olduğu belirtilmiştir. O halde, $(a+1)(b+1)(c+1) = 24$ denklemini elde ederiz.
Adım 2: Üsler İçin Olası Değerleri Belirleme
$a, b, c$ birer pozitif tam sayı olduğundan, $a \ge 1, b \ge 1, c \ge 1$ olmalıdır.
Bu durumda $a+1 \ge 2, b+1 \ge 2, c+1 \ge 2$ olur.
Şimdi $24$ sayısını, her biri $2$ veya daha büyük olan üç tam sayının çarpımı şeklinde yazmamız gerekiyor. Olası çarpan grupları (sıralama önemli değil) şunlardır:
Bu çarpan grupları, $(a+1, b+1, c+1)$ değerlerini temsil eder. Buradan $(a, b, c)$ değerlerini bulabiliriz:
Adım 3: $N$ Sayısının En Küçük Değerini Bulma
$N = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ sayısının en küçük değeri alması için, en büyük üssü en küçük asal çarpana (yani $2$'ye), ortanca üssü ortanca asal çarpana (yani $3$'e) ve en küçük üssü en büyük asal çarpana (yani $5$'e) atamamız gerekir. Bu, sayının değerini minimize etme stratejisidir.
Durum 1: Üsler $(1, 1, 5)$ olduğunda
En büyük üs $5$, ortanca üs $1$, en küçük üs $1$.
Bu durumda $a=5, b=1, c=1$ atamasını yaparız.
$N_1 = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 32 \cdot 3 \cdot 5 = 96 \cdot 5 = 480$.
Durum 2: Üsler $(1, 2, 3)$ olduğunda
En büyük üs $3$, ortanca üs $2$, en küçük üs $1$.
Bu durumda $a=3, b=2, c=1$ atamasını yaparız.
$N_2 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.
Adım 4: Sonucu Karşılaştırma
Bulduğumuz iki olası $N$ değeri $480$ ve $360$'tır. Bu değerler arasında en küçüğü $360$'tır.
Cevap B seçeneğidir.
