Bir otobüs durağından A otobüsü 15 dakikada bir, B otobüsü ise 20 dakikada bir geçmektedir. İki otobüs ilk kez saat 08:00'de aynı anda duraktan geçtiğine göre, ikinci kez saat kaçta aynı anda duraktan geçerler?
A) $08:30$
B) $08:45$
C) $09:00$
D) $09:15$
E) $09:30$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, iki farklı periyotta gerçekleşen olayların ne zaman tekrar aynı anda olacağını bulma üzerine kurulu. Bu tür soruları çözerken genellikle "En Küçük Ortak Kat" (EKOK) kavramını kullanırız. Şimdi adım adım bu soruyu nasıl çözeceğimize bakalım:
- Adım 1: Problemi Anlama
- Öncelikle, otobüslerin duraktan geçme sıklıklarını belirleyelim:
- A otobüsü: Her 15 dakikada bir
- B otobüsü: Her 20 dakikada bir
- İki otobüs ilk kez saat 08:00'de aynı anda geçmiş. Bizden istenen, ikinci kez saat kaçta aynı anda duraktan geçeceklerini bulmak.
- Adım 2: Hangi Matematiksel Yöntemi Kullanacağımıza Karar Verme
- İki farklı zaman aralığına sahip olayın tekrar aynı anda gerçekleşeceği zamanı bulmak için bu zaman aralıklarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerekir. Yani, 15 ve 20 dakikanın EKOK'unu bulacağız. Bu bize, otobüslerin kaç dakikada bir aynı anda duraktan geçeceğini söyleyecek.
- Adım 3: EKOK Hesaplama
- 15 ve 20 sayılarının EKOK'unu bulalım. Bunu iki farklı yolla yapabiliriz:
- Yöntem 1: Katlarını Yazarak Bulma
- 15'in katları: 15, 30, 45, 60, 75, ...
- 20'nin katları: 20, 40, 60, 80, ...
- Gördüğümüz gibi, 15 ve 20'nin en küçük ortak katı 60'tır.
- Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırarak Bulma
- 15'i asal çarpanlarına ayıralım: $15 = 3 \times 5$
- 20'yi asal çarpanlarına ayıralım: $20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5$
- EKOK'u bulmak için, her bir asal çarpanın en yüksek üslü halini alır ve çarparız:
- EKOK$(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
- Her iki yöntemle de EKOK'u 60 dakika olarak bulduk. Bu, otobüslerin her 60 dakikada bir aynı anda duraktan geçeceği anlamına gelir.
- Adım 4: İkinci Kez Aynı Anda Geçme Zamanını Hesaplama
- Otobüsler ilk kez saat 08:00'de aynı anda duraktan geçmişlerdi.
- İkinci kez aynı anda geçmeleri için bu saate bulduğumuz EKOK süresini (60 dakika) eklemeliyiz.
- $08:00 + 60 \text{ dakika} = 08:00 + 1 \text{ saat}$
- $08:00 + 1 \text{ saat} = 09:00$
- Yani, otobüsler ikinci kez saat 09:00'da aynı anda duraktan geçerler.
Cevap C seçeneğidir.
