$\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$ ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) $2\sin x$Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen ifadeyi ortak paydada birleştirmemiz gerekiyor. İşte adım adım çözüm:
Verilen ifade: $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$
Ortak payda: $\sin x \cdot (1+\cos x)$
İlk kesri $\sin x$ ile, ikinci kesri $(1+\cos x)$ ile genişletelim:
$\frac{\sin x}{1+\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{1+\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}$
Bu da şu ifadeyi verir: $\frac{\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)} + \frac{(1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$
Şimdi kesirleri birleştirebiliriz:
$\frac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$
Payı açalım: $\sin^2 x + (1 + 2\cos x + \cos^2 x)$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ olduğunu hatırlayalım. O zaman pay şöyle olur:
$1 + 1 + 2\cos x = 2 + 2\cos x$
Yani ifademiz: $\frac{2 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)}$
Payı 2 parantezine alalım: $\frac{2(1 + \cos x)}{\sin x(1+\cos x)}$
$(1+\cos x)$ terimleri sadeleşir:
$\frac{2}{\sin x}$
İfadenin en sade hali $\frac{2}{\sin x}$'tir.
Cevap E seçeneğidir.
