Bir $ABC$ üçgeninde $a=6$ cm, $b=8$ cm ve $m(\hat{C})=60^\circ$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $2\sqrt{13}$
B) $2\sqrt{10}$
C) $4\sqrt{3}$
D) $6$
E) $7$
Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ve bir açısı arasındaki ilişkiyi ifade eder. Teorem şu şekildedir:
- $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$
Burada:
- $a$ ve $b$ üçgenin iki kenar uzunluğunu,
- $c$ ise bu kenarlar arasındaki açının karşısındaki kenar uzunluğunu,
- $C$ ise $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açıyı temsil eder.
Şimdi verilenleri yerine koyalım:
- $a = 6$ cm
- $b = 8$ cm
- $m(\hat{C}) = 60^\circ$
Kosinüs Teoremi'ni uygulayarak $c$'yi bulalım:
- $c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
- $c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \cos(60^\circ)$
$\cos(60^\circ)$'nin değerini hatırlayalım: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
- $c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}$
- $c^2 = 100 - 48$
- $c^2 = 52$
$c$'yi bulmak için karekök alalım:
- $c = \sqrt{52}$
- $c = \sqrt{4 \cdot 13}$
- $c = 2\sqrt{13}$ cm
Cevap A seçeneğidir.
