10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 2

Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?

A) $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = \frac{x}{2}$
B) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, $f(x) = x-1$
C) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x}$
D) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2+1$
E) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = \frac{1}{x}$

Fonksiyon olmanın temel kuralı: Tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde yalnızca bir karşılığı olmalıdır. Şimdi seçenekleri bu kurala göre inceleyelim:

• A) $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = \frac{x}{2}$

  Bu seçenekte tanım kümesi doğal sayılar ($\mathbb{N}$), değer kümesi ise tam sayılar ($\mathbb{Z}$). Ancak, örneğin $x=1$ için $f(1) = \frac{1}{2}$ olur. $\frac{1}{2}$ bir tam sayı değildir, yani değer kümesinde bulunmaz. Bu nedenle, bu bir fonksiyon belirtmez.

• B) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, $f(x) = x-1$

  Bu seçenekte tanım kümesi tam sayılar ($\mathbb{Z}$), değer kümesi ise doğal sayılar ($\mathbb{N}$). Örneğin, $x=0$ için $f(0) = 0-1 = -1$ olur. $-1$ bir doğal sayı değildir, yani değer kümesinde bulunmaz. Bu nedenle, bu da bir fonksiyon belirtmez.

• C) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x}$

  Bu seçenekte tanım kümesi ve değer kümesi reel sayılar ($\mathbb{R}$). Ancak, karekök fonksiyonu negatif reel sayılar için tanımlı değildir. Örneğin, $x=-1$ için $f(-1) = \sqrt{-1}$ reel bir sayı değildir. Bu nedenle, bu da bir fonksiyon belirtmez.

• D) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2+1$

  Bu seçenekte hem tanım kümesi hem de değer kümesi reel sayılar ($\mathbb{R}$). Herhangi bir reel sayının karesi her zaman pozitiftir veya sıfırdır. Bu nedenle, $x^2+1$ her zaman reel bir sayıdır ve her $x$ reel sayısı için yalnızca bir değer üretir. Dolayısıyla, bu bir fonksiyon belirtir.

• E) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = \frac{1}{x}$

  Bu seçenekte tanım kümesi ve değer kümesi tam sayılar ($\mathbb{Z}$). Ancak, $x=2$ için $f(2) = \frac{1}{2}$ olur. $\frac{1}{2}$ bir tam sayı değildir, yani değer kümesinde bulunmaz. Bu nedenle, bu da bir fonksiyon belirtmez.

Cevap D seçeneğidir.