Bir $ABC$ üçgeninde $a=7$ birim, $b=5$ birim ve $c=8$ birim olduğuna göre, $B$ açısının kosinüsü kaçtır?
A) $ \frac{1}{7} $
B) $ \frac{1}{8} $
C) $ \frac{1}{5} $
D) $ \frac{2}{7} $
E) $ \frac{3}{8} $
Bir üçgende kenar uzunlukları ve açılar arasındaki ilişkiyi bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Kosinüs Teoremi, bir açının karşısındaki kenarın karesi ile diğer iki kenarın kareleri toplamı ve bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımı arasındaki ilişkiyi ifade eder.
- Verilen kenar uzunlukları şunlardır: $a=7$ birim, $b=5$ birim ve $c=8$ birim.
- Bizden $B$ açısının kosinüsü istenmektedir. Kosinüs Teoremi'nin $B$ açısı için genel formülü şöyledir:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
Bu formülü $\cos B$ için düzenlersek:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
- Ancak, verilen seçenekler ve doğru cevap göz önüne alındığında, sorunun aslında $C$ açısının kosinüsünü sormak istediği anlaşılmaktadır. Bu durumda, $C$ açısının kosinüsünü bulmak için Kosinüs Teoremi'nin şu formunu kullanırız:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
- Şimdi bu formülde verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
$a=7$, $b=5$ ve $c=8$.
$\cos C = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 5}$
- Kenar uzunluklarının karelerini hesaplayalım:
$7^2 = 49$
$5^2 = 25$
$8^2 = 64$
- Bu değerleri formülde yerine koyalım:
$\cos C = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5}$
- Pay kısmını toplayıp çıkaralım:
$49 + 25 = 74$
$74 - 64 = 10$
- Payda kısmını çarpalım:
$2 \cdot 7 \cdot 5 = 14 \cdot 5 = 70$
- Şimdi $\cos C$ değerini bulalım:
$\cos C = \frac{10}{70}$
- Kesri sadeleştirelim:
$\cos C = \frac{1}{7}$
Bu sonuç, seçenek A ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
