Aynı sıcaklıkta bulunan iki farklı gazın (A ve B) mol kütleleri sırasıyla $M_A$ ve $M_B$ dir. A gazının ortalama hızı, B gazının ortalama hızının iki katı ise, $M_A / M_B$ oranı kaçtır?
A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D) 2
E) 4
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, gazların kinetik teorisi ve ortalama hızları arasındaki ilişkiyi kullanarak bir oran bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve konuyu pekiştirelim.
- 1. Adım: Gazların Ortalama Hız Formülünü Hatırlayalım
- Gaz moleküllerinin ortalama hızı (veya daha doğru bir ifadeyle, kök-ortalama kare hızı), gazın sıcaklığı ve mol kütlesi ile ilişkilidir. Bu ilişkiyi veren formül şöyledir:
$v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
Burada:
- $v$: Gazın ortalama hızıdır.
- $R$: İdeal gaz sabitidir.
- $T$: Gazın mutlak sıcaklığıdır (Kelvin cinsinden).
- $M$: Gazın mol kütlesidir.
Bu formül bize hızın sıcaklığın kareköküyle doğru orantılı, mol kütlesinin kareköküyle ise ters orantılı olduğunu gösterir.
- 2. Adım: Verilen Bilgileri Not Edelim
- Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
- İki farklı gaz var: A ve B.
- Aynı sıcaklıktalar: $T_A = T_B = T$.
- Mol kütleleri sırasıyla $M_A$ ve $M_B$ dir.
- A gazının ortalama hızı, B gazının ortalama hızının iki katıdır: $v_A = 2v_B$.
- 3. Adım: Her Bir Gaz İçin Hız Formülünü Yazalım
- A gazı için ortalama hız:
$v_A = \sqrt{\frac{3RT}{M_A}}$
- B gazı için ortalama hız:
$v_B = \sqrt{\frac{3RT}{M_B}}$
- 4. Adım: Hızlar Arasındaki İlişkiyi Kullanalım
- Bize $v_A = 2v_B$ olduğu verilmişti. Şimdi bu eşitliği kullanarak formülleri birbirine bağlayalım:
$2v_B = \sqrt{\frac{3RT}{M_A}}$
$v_B = \sqrt{\frac{3RT}{M_B}}$
- İlk denklemi ikinci denkleme bölebiliriz (veya $v_B$ yerine ikinci denklemi ilk denklemde yerine yazabiliriz):
$2 \times \sqrt{\frac{3RT}{M_B}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_A}}$
- 5. Adım: Denklemi Sadeleştirelim ve Oranı Bulalım
- Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak kareköklerden kurtulalım:
$(2 \times \sqrt{\frac{3RT}{M_B}})^2 = (\sqrt{\frac{3RT}{M_A}})^2$
$4 \times \frac{3RT}{M_B} = \frac{3RT}{M_A}$
- Şimdi eşitliğin her iki tarafındaki ortak terimleri ($3RT$) sadeleştirelim:
$4 \times \frac{1}{M_B} = \frac{1}{M_A}$
$\frac{4}{M_B} = \frac{1}{M_A}$
- Bizden $M_A / M_B$ oranı isteniyor. Denklemi bu orana göre düzenleyelim:
$4 M_A = M_B$
$M_A / M_B = 1/4$
Buna göre, $M_A / M_B$ oranı $1/4$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
