Bire bir ve örten fonksiyon kavramlarını hatırlayarak soruyu çözmeye başlayalım. Bir fonksiyonun bire bir (enjektif) olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır. Bir fonksiyonun örten (sürjektif) olması için ise, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesinde bir karşılığı (orijinali) olmalıdır.
- A) $f(x) = x^2$: Bu fonksiyon bire bir değildir, çünkü örneğin $f(2) = 4$ ve $f(-2) = 4$ tür. Yani farklı iki elemanın görüntüleri aynıdır. Ayrıca, negatif sayılar bu fonksiyonun görüntü kümesinde yer almaz, bu yüzden örten de değildir (eğer reel sayılardan reel sayılara tanımlıysa).
- B) $g(x) = |x|$: Bu fonksiyon da bire bir değildir, çünkü örneğin $g(3) = 3$ ve $g(-3) = 3$ tür. Aynı zamanda, negatif sayılar bu fonksiyonun görüntü kümesinde yer almaz, bu yüzden örten de değildir (eğer reel sayılardan reel sayılara tanımlıysa).
- C) $h(x) = x^3$: Bu fonksiyon hem bire birdir hem de örtendir (eğer reel sayılardan reel sayılara tanımlıysa). Çünkü her $x$ değeri için farklı bir $x^3$ değeri vardır ve her $y$ reel sayısı için $\sqrt[3]{y}$ de bir reel sayıdır ve $h(\sqrt[3]{y}) = y$ olur.
- D) $k(x) = sin(x)$: Bu fonksiyon bire bir değildir, çünkü $sin(x) = sin(x + 2\pi)$ gibi sonsuz sayıda tekrar eden değerler vardır. Ayrıca, $sin(x)$'in görüntü kümesi $[-1, 1]$ aralığıdır, bu yüzden reel sayılardan reel sayılara tanımlıysa örten de değildir.
- E) $l(x) = e^x$: Bu fonksiyon bire birdir, çünkü $e^x$ her $x$ değeri için farklı bir değer alır. Ancak, $e^x$ her zaman pozitiftir, bu yüzden negatif sayılar bu fonksiyonun görüntü kümesinde yer almaz. Bu nedenle, reel sayılardan reel sayılara tanımlıysa örten değildir.
Bu analizlere göre, sadece $h(x) = x^3$ fonksiyonu hem bire bir hem de örtendir.
Cevap C seçeneğidir.
