11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo meb Test 1

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Sevgili öğrenciler, bu limit sorusunu adım adım çözelim:

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma Denemesi

Öncelikle, $x \to 2$ olduğu için $x=2$ değerini doğrudan ifadeye yerine koymayı deneyelim. Bakalım neyle karşılaşacağız:

Pay: $x^2 - 4 = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$

Payda: $x - 2 = 2 - 2 = 0$

Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliği ile karşılaştık. Bu durum, limitin var olabileceğini ancak ifadeyi sadeleştirmemiz gerektiğini gösterir.

• Adım 2: İfadeyi Sadeleştirme

Belirsizliği ortadan kaldırmak için ifadeyi sadeleştirmemiz gerekiyor. Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğidir. Hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Burada $a = x$ ve $b = 2$ olduğu için, $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.

Şimdi limit ifadesini yeniden yazalım:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

• Adım 3: Ortak Terimleri Sadeleştirme

İfadeyi sadeleştirdiğimizde, pay ve paydada ortak olan $(x - 2)$ terimini görebiliriz. Limit alırken $x$ değeri $2$'ye yaklaşıyor, ancak tam olarak $2$ olmuyor. Bu yüzden $x - 2 \neq 0$ kabul edebiliriz ve bu terimi sadeleştirebiliriz:

$\lim_{x \to 2} (x + 2)$

• Adım 4: Sadeleşmiş İfadeye Limiti Uygulama

Şimdi sadeleşmiş ifadeye $x=2$ değerini doğrudan yerine koyabiliriz, çünkü artık bir belirsizlik durumu yoktur:

$2 + 2 = 4$

Buna göre, verilen limitin değeri $4$'tür.

Cevap E seçeneğidir.