11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo meb Test 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}$ limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) $\infty$

Sevgili öğrenciler, bu soruda sonsuza giden bir rasyonel ifadenin limitini bulmamız isteniyor. Bu tür limitleri çözerken izleyebileceğimiz birkaç yol vardır. Şimdi adım adım bu limitin değerini bulalım.

• Adım 1: İfadeyi Anlamak ve Belirsizliği Tespit Etmek

  Verilen limit ifadesi $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}$ şeklindedir. Eğer $x$ yerine doğrudan $\infty$ yazmaya çalışırsak, pay kısmı $3(\infty)^2 + 2(\infty) - 1 = \infty$ ve payda kısmı $(\infty)^2 + 5 = \infty$ olur. Bu durumda $\frac{\infty}{\infty}$ şeklinde bir belirsizlik ile karşılaşırız. Bu belirsizliği gidermek için farklı yöntemler kullanmamız gerekir.

• Adım 2: En Yüksek Dereceli Terimle Bölme Yöntemi

  Rasyonel fonksiyonların sonsuzdaki limitlerini bulurken en yaygın ve anlaşılır yöntemlerden biri, hem payı hem de paydayı, paydadaki en yüksek dereceli $x$ terimine bölmektir. Bu durumda paydadaki en yüksek dereceli terim $x^2$'dir.

  İfadeyi $x^2$ ile bölelim:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{5}{x^2}}$

• Adım 3: İfadeyi Sadeleştirmek

  Şimdi ifadeyi sadeleştirelim:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}$

• Adım 4: Limit Kurallarını Uygulamak

  Limitin temel özelliklerinden biri şudur: $c$ bir sabit sayı ve $n > 0$ olmak üzere, $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$'dır. Yani, $x$ sonsuza giderken, bir sabit sayının $x$'in pozitif bir kuvvetine bölümü $0$'a yaklaşır.

  Bu kuralı sadeleştirdiğimiz ifadeye uygulayalım:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$

  $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$

  $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^2} = 0$

  Bu değerleri yerine yazarsak:

  $\frac{3 + 0 - 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3$

• Adım 5: Kısa Yol (Dereceleri Karşılaştırma)

  Rasyonel fonksiyonların sonsuzdaki limitleri için pratik bir kural vardır:

  Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit $\pm \infty$ olur (işaret, en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının işaretine bağlıdır).

  Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, limit $0$ olur.

  Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, limit, paydaki en yüksek dereceli terimin katsayısının, paydadaki en yüksek dereceli terimin katsayısına oranıdır.

  Bizim sorumuzda:

  Pay: $3x^2 + 2x - 1$. En yüksek derece $2$, katsayısı $3$.

  Payda: $x^2 + 5$. En yüksek derece $2$, katsayısı $1$.

  Payın derecesi ($2$) ile paydanın derecesi ($2$) eşit olduğu için, limit en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranına eşittir:

  $\frac{3}{1} = 3$

  Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de aynı sonuca ulaştı.

Cevap D seçeneğidir.