Sevgili öğrenciler, bu soruda bir logaritma denklemini çözmemiz isteniyor. Logaritma denklemlerini çözerken en temel kural, logaritmanın tanımını iyi bilmektir. Hadi adım adım bu denklemi çözelim:
- Logaritmanın Tanımını Hatırlayalım: Bir logaritma ifadesi olan $\log_b a = c$, aslında $b^c = a$ şeklinde bir üslü ifadeye karşılık gelir. Burada $b$ taban, $a$ logaritması alınan sayı ve $c$ ise logaritmanın değeridir.
- Denklemimizi Üslü İfadeye Çevirelim: Bize verilen denklem $\log_2(x+1) = 3$. Logaritmanın tanımına göre, bu ifadeyi üslü biçimde yazabiliriz. Burada taban $2$, logaritmanın değeri $3$ ve logaritması alınan ifade $(x+1)$'dir. Yani, $2^3 = x+1$ olur.
- Üslü İfadeyi Hesaplayalım: Şimdi $2^3$ değerini hesaplayalım. $2^3$ demek, $2$ sayısını kendisiyle $3$ kez çarpmak demektir:
$2 \times 2 \times 2 = 8$.
Yani, denklemimiz $8 = x+1$ haline gelir.
- $x$ Değerini Bulalım: Son adım olarak, $x$ değerini bulmak için denklemi çözelim:
$8 = x+1$
$x = 8 - 1$
$x = 7$
- Çözümün Geçerliliğini Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı Ama Önemli): Logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerektiğini unutmayalım. Yani $x+1 > 0$ olmalıdır. Bulduğumuz $x=7$ değerini yerine koyarsak, $7+1 = 8$ olur ki bu da $0$'dan büyüktür. Dolayısıyla çözümümüz geçerlidir.
Bu adımları takip ettiğimizde, denklemi sağlayan $x$ değerinin $7$ olduğunu buluruz.
Cevap D seçeneğidir.
