$\sin(x) = \frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesi nedir?
A) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$
B) $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right\}$
C) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right\}$
D) $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$
E) $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $\sin(x) = \frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Temel Açıyı Bulma
- Öncelikle, sinüsü $\frac{1}{2}$ olan temel açıyı bulmalıyız. Birim çember veya özel üçgenler bilgimizden, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz. Bu, $x$'in alabileceği ilk değerdir: $x_1 = \frac{\pi}{6}$. Bu açı, verilen $[0, 2\pi]$ aralığındadır.
- Adım 2: Sinüsün Pozitif Olduğu Bölgeleri Belirleme
- Sinüs fonksiyonu, birim çemberde y-koordinatını temsil eder. y-koordinatının pozitif olduğu bölgeler 1. ve 2. bölgelerdir.
- İlk bulduğumuz $x_1 = \frac{\pi}{6}$ açısı 1. bölgededir. Şimdi 2. bölgedeki çözümü bulmalıyız.
- Adım 3: 2. Bölgedeki Çözümü Bulma
- 2. bölgedeki bir açıyı bulmak için, $\pi$ (yani $180^\circ$) 'den referans açımızı (yani $\frac{\pi}{6}$) çıkarırız.
- $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6}$
- Paydaları eşitleyerek işlemi yapalım: $x_2 = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
- Bu açı da verilen $[0, 2\pi]$ aralığındadır.
- Adım 4: Diğer Periyotları Kontrol Etme
- Sinüs fonksiyonunun periyodu $2\pi$'dir. Bu, her $2\pi$ radyanlık dönüşte sinüs değerlerinin tekrar ettiği anlamına gelir. Genel çözümler $x = \theta + 2k\pi$ ve $x = (\pi - \theta) + 2k\pi$ şeklindedir, burada $k$ bir tam sayıdır.
- Bizden istenen aralık $[0, 2\pi]$ olduğu için, $k=0$ durumundaki çözümler yeterlidir. Eğer $k=1$ veya $k=-1$ gibi değerler denersek, bulduğumuz açılar $[0, 2\pi]$ aralığının dışına çıkacaktır. Örneğin:
- $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ (aralığın dışında)
- $\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$ (aralığın dışında)
- Dolayısıyla, $[0, 2\pi]$ aralığındaki tek çözümler $\frac{\pi}{6}$ ve $\frac{5\pi}{6}$'dir.
- Adım 5: Çözüm Kümesini Yazma
- Bulduğumuz çözümleri bir küme içinde ifade edersek: $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$.
Bu çözüm kümesi, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
