$\cos(2x) = 0$ denkleminin $[0, \pi]$ aralığındaki çözüm kümesi nedir?
A) $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$
B) $\left\{\frac{\pi}{2}, \pi\right\}$
C) $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right\}$
D) $\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right\}$
E) $\left\{\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right\}$
Merhaba sevgili öğrenciler! Trigonometrik denklemleri çözerken adım adım ilerlemek, doğru sonuca ulaşmanın en iyi yoludur. Şimdi, $\cos(2x) = 0$ denkleminin $[0, \pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulalım.
- Adım 1: Temel Kosinüs Denklemini Anlamak
- Öncelikle, kosinüs fonksiyonunun hangi açılarda $0$ değerini aldığını hatırlayalım. Bir açının kosinüsü $0$ ise, bu açı birim çemberde $y$-ekseni üzerinde yer alır. Yani, bu açılar $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{3\pi}{2}$ (veya bunlara $2\pi$'nin katları eklenmiş/çıkarılmış halleridir). Genel olarak, $\cos(\theta) = 0$ denkleminin çözümü $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$ şeklindedir, burada $k$ bir tam sayıdır.
- Adım 2: Denklemi Genel Çözüme Uygulamak
- Bizim denklemimizde $\cos(2x) = 0$ olduğu için, $\theta$ yerine $2x$ yazmalıyız. Bu durumda, $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ olur.
- Adım 3: $x$ Değerlerini Bulmak
- $x$'i yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
$x = \frac{\frac{\pi}{2} + k\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$
- Adım 4: Belirtilen Aralıktaki Çözümleri Bulmak
- Şimdi, $k$ yerine farklı tam sayılar yazarak $x$ değerlerini bulmalı ve bu değerlerin $[0, \pi]$ aralığında olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
- $k=0$ için:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{0 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Bu değer $[0, \pi]$ aralığındadır ($0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi$). Yani, $\frac{\pi}{4}$ bir çözümdür.
- $k=1$ için:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Bu değer de $[0, \pi]$ aralığındadır ($0 \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$). Yani, $\frac{3\pi}{4}$ bir çözümdür.
- $k=2$ için:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.
Bu değer $[0, \pi]$ aralığında değildir ($\frac{5\pi}{4} > \pi$). Bu yüzden, $\frac{5\pi}{4}$ bir çözüm değildir.
- $k=-1$ için:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{-1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
Bu değer $[0, \pi]$ aralığında değildir ($-\frac{\pi}{4} < 0$). Bu yüzden, $-\frac{\pi}{4}$ bir çözüm değildir.
- Görüldüğü gibi, $k$'nın daha büyük pozitif veya daha küçük negatif değerleri için bulacağımız $x$ değerleri de $[0, \pi]$ aralığının dışında kalacaktır.
- Adım 5: Çözüm Kümesini Belirlemek
- $[0, \pi]$ aralığında bulduğumuz çözümler $\frac{\pi}{4}$ ve $\frac{3\pi}{4}$'tür. Bu durumda çözüm kümesi $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$ olur.
Cevap A seçeneğidir.
