🎓 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1 - Ders Notu
Sevgili öğrenciler, bu ders notu, 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavınızda karşılaşabileceğiniz temel konuları sade ve anlaşılır bir dille özetlemek için hazırlandı. Üslü ve kareköklü ifadelerden cebirsel özdeşliklere, doğrusal denklemlerden eşitsizliklere kadar bilmeniz gereken her şeyi burada bulacaksınız.
📌 Üslü İfadeler
Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpıldığını gösteren kısa yollardır. Temel kuralları iyi kavramak, bu konudaki başarınızın anahtarıdır.
- Bir $a$ sayısının $n$ defa kendisiyle çarpımı $a^n$ şeklinde gösterilir. ($a \neq 0$ için $a^0 = 1$, $1^n = 1$)
- Negatif üs: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (Örn: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$)
- Üslü ifadelerde çarpma: Tabanlar aynıysa üsler toplanır ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Üsler aynıysa tabanlar çarpılır ($a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$).
- Üslü ifadelerde bölme: Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Üsler aynıysa tabanlar bölünür ($\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$).
- Üssün üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında üsler çarpılır ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
- Bilimsel gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıları $a \times 10^n$ şeklinde yazmaktır. Burada $1 \le |a| < 10$ olmalıdır (Örn: $3450000 = 3.45 \times 10^6$).
💡 İpucu: Üslü ifadelerde işlem yaparken öncelikle işaretlere dikkat edin. Negatif tabanın çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
📌 Kareköklü İfadeler
Kareköklü ifadeler, karesi belirli bir sayıya eşit olan sayıyı bulma işlemidir. Bir sayının karekökü, o sayının hangi sayının karesi olduğunu gösterir.
- Karekök alma, üslü ifadenin tersi bir işlemdir. $\sqrt{a}$ sembolü ile gösterilir. $x^2 = a$ ise $x = \sqrt{a}$ veya $x = -\sqrt{a}$'dır. Ancak $\sqrt{a}$ ile sadece pozitif karekök kastedilir.
- Tam kare sayılar: Karekökü tam sayı olan sayılardır (Örn: $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{25}=5$).
- $a\sqrt{b}$ şeklinde yazma: Kök içindeki tam kare çarpanı kök dışına çıkarırız (Örn: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$).
- Kareköklü ifadelerde çarpma: Kök içleri kendi arasında, kök dışları kendi arasında çarpılır ($a\sqrt{x} \cdot b\sqrt{y} = (a \cdot b)\sqrt{x \cdot y}$).
- Kareköklü ifadelerde bölme: Kök içleri kendi arasında, kök dışları kendi arasında bölünür ($\frac{a\sqrt{x}}{b\sqrt{y}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{x}{y}}$).
- Kareköklü ifadelerde toplama/çıkarma: Sadece kök içleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanır/çıkarılır (Örn: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$).
- Paydayı rasyonel yapma: Paydada köklü ifade varsa, paydayı kendisiyle çarparak (veya eşleniğiyle) paydayı kökten kurtarırız ($\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$).
⚠️ Dikkat: Karekök içindeki sayı asla negatif olamaz. $\sqrt{-4}$ diye bir gerçek sayı yoktur!
📌 Gerçek (Reel) Sayılar
Sayı kümelerini ve bu kümeler arasındaki ilişkileri anlamak, matematiksel düşüncenin temelidir.
- Rasyonel sayılar ($Q$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Tam sayılar, doğal sayılar ve ondalık sayılar da rasyonel sayılardır (Örn: $0.5 = \frac{1}{2}$, $-3 = \frac{-3}{1}$).
- İrrasyonel sayılar ($I$): Rasyonel olmayan, yani $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Virgülden sonrası düzensiz ve sonsuz devam eden sayılardır (Örn: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{7}$).
- Gerçek (Reel) sayılar ($R$): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar bir gerçek sayıya karşılık gelir.
💡 İpucu: Bir sayının rasyonel mi irrasyonel mi olduğunu anlamak için, karekök dışına çıkıp çıkmadığına veya ondalık açılımının düzenli olup olmadığına bakabilirsin.
📌 Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
Cebirsel ifadeler, içinde en az bir değişken (bilinmeyen) ve işlem içeren matematiksel ifadelerdir. Özdeşlikler ise değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklerdir.
- Cebirsel ifadelerle çarpma: Her terimi birbiriyle çarparak dağılma özelliğini kullanırız (Örn: $2x(x+3) = 2x^2 + 6x$).
- Özdeşlikler:
- İki Terimin Toplamının Karesi: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- İki Terimin Farkının Karesi: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- İki Kare Farkı: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Çarpanlara Ayırma: Bir cebirsel ifadeyi, iki veya daha fazla cebirsel ifadenin çarpımı şeklinde yazmaktır. Ortak çarpan parantezine alma veya özdeşliklerden yararlanma en sık kullanılan yöntemlerdir.
⚠️ Dikkat: $(a+b)^2$ ile $a^2+b^2$ aynı şeyler değildir! Aradaki farkı unutma.
📌 Doğrusal Denklemler
Doğrusal denklemler, içinde bir veya daha fazla bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenlerin en büyük üssünün 1 olduğu denklemlerdir. Genellikle $ax+b=0$ veya $y=ax+b$ formundadır.
- Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözme: Eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi uygulayarak (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) bilinmeyeni yalnız bırakırız.
- Problem çözme: Günlük hayattan verilen problemleri matematik diline (denklem kurma) çevirip çözmek çok önemlidir.
- Denklem sistemleri: İki bilinmeyenli iki denklemi çözmek için yerine koyma veya yok etme yöntemlerini kullanırız.
- Koordinat sistemi: İki boyutlu düzlemde noktaların yerini belirlemek için kullanılır. $(x, y)$ şeklinde gösterilir.
- Doğrusal İlişkiler: İki değişken arasındaki ilişkinin bir doğru grafiği oluşturmasıdır. $y=ax+b$ denklemi ile gösterilir.
- Eğim: Bir doğrunun yatay eksenle yaptığı açının tanjantı veya dikey değişimin yatay değişime oranıdır. $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ formülüyle bulunur.
💡 İpucu: Denklem çözerken her adımı dikkatli yapın ve işaret hatalarına karşı uyanık olun. Denklem kurma problemlerinde bilinmeyene doğru harfi atamak işinizi kolaylaştırır.
📌 Eşitsizlikler
Eşitsizlikler, iki matematiksel ifadenin birbirine eşit olmadığını, birinin diğerinden büyük veya küçük olduğunu gösteren ifadelerdir.
- Eşitsizlik sembolleri:
- $<$ (küçüktür)
- $>$ (büyüktür)
- $\le$ (küçük veya eşittir)
- $\ge$ (büyük veya eşittir)
- Eşitsizlik çözme: Denklemlere benzer şekilde çözülür. Ancak dikkat edilmesi gereken önemli bir kural vardır.
- Eşitsizliklerde çarpma/bölme: Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpar veya bölersek, eşitsizlik yön değiştirir (Örn: $-2x < 6 \implies x > -3$).
- Sayı doğrusunda gösterme: Çözüm kümesini sayı doğrusu üzerinde aralık olarak gösteririz. Eşitlik varsa nokta kapalı (dolu), yoksa açık (boş) olur.
⚠️ Dikkat: Eşitsizliği negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizlik işaretini ters çevirmeyi asla unutmayın!
📝 Unutmayın, düzenli tekrar ve bol soru çözmek, konuları pekiştirmenin en iyi yoludur. Sınavda başarılar dilerim!
