töder türkiye geneli ayt deneme sınavı ve çözümleri Test 1

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + a$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[-3, \infty)$ olduğuna göre, $a$ kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 4x + a$ bir parabol belirtir. Bu parabolün katsayısı $x^2$ teriminin önündeki sayı olan $1$ olduğu için ($1 > 0$), parabolün kolları yukarıya doğru açılır.

• Kolları yukarıya doğru açılan bir parabolün görüntü kümesi, parabolün tepe noktasının y-koordinatından başlayıp sonsuza kadar gider. Yani görüntü kümesi $[y_{tepe}, \infty)$ şeklindedir.
• Soruda görüntü kümesinin $[-3, \infty)$ olduğu verilmiştir. Bu durumda, parabolün tepe noktasının y-koordinatı $y_{tepe} = -3$ olmalıdır.
• Parabolün tepe noktasının x-koordinatı $x_{tepe}$, $x_{tepe} = -\frac{B}{2A}$ formülüyle bulunur. Burada $A=1$ ve $B=-4$'tür.
• $x_{tepe} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
• Şimdi, tepe noktasının y-koordinatını bulmak için $x_{tepe}$ değerini fonksiyonda yerine yazalım: $y_{tepe} = f(x_{tepe}) = f(2)$.
• $f(2) = (2)^2 - 4(2) + a = 4 - 8 + a = -4 + a$.
• Daha önce belirttiğimiz gibi, $y_{tepe} = -3$ olmalıdır. Bu durumda, $-4 + a = -3$ denklemini çözmeliyiz.
• $-4 + a = -3 \implies a = -3 + 4 \implies a = 1$.

Cevap A seçeneğidir.