Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir?
A) \{x : x^2 + 1 = 0, x \in \mathbb{R}\}
B) \{x : x^2 = 4, x \in \mathbb{Z}\}
C) \{x : 2x = 5, x \in \mathbb{Q}\}
D) \{x : x > 0, x \in \mathbb{N}\}
E) \{x : x + 3 = 3, x \in \mathbb{N}\}
Bir kümenin boş küme olması demek, o kümenin hiçbir eleman içermemesi demektir. Boş küme $\emptyset$ veya $\{\}$ sembolleriyle gösterilir. Şimdi her bir seçeneği inceleyelim:
- A) $\{x : x^2 + 1 = 0, x \in \mathbb{R}\}$
- Bu küme, karesiyle $1$ toplandığında $0$ eden ve bir gerçek sayı olan $x$ değerlerinden oluşur.
- Denklemi çözelim: $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$.
- Gerçek sayılar kümesinde ($\mathbb{R}$), hiçbir sayının karesi negatif olamaz. Yani, her gerçek sayı $x$ için $x^2 \ge 0$ olmalıdır.
- Bu nedenle, $x^2 = -1$ denklemini sağlayan hiçbir gerçek sayı $x$ yoktur.
- Dolayısıyla, bu küme boş kümedir.
- B) $\{x : x^2 = 4, x \in \mathbb{Z}\}$
- Bu küme, karesi $4$ olan ve bir tam sayı olan $x$ değerlerinden oluşur.
- Denklemi çözelim: $x^2 = 4 \implies x = \sqrt{4}$ veya $x = -\sqrt{4}$. Yani $x = 2$ veya $x = -2$.
- $2$ ve $-2$ sayıları birer tam sayıdır ($\mathbb{Z}$).
- Bu küme $\{-2, 2\}$'dir ve iki elemanı vardır. Boş küme değildir.
- C) $\{x : 2x = 5, x \in \mathbb{Q}\}$
- Bu küme, $2$ katı $5$ olan ve bir rasyonel sayı olan $x$ değerlerinden oluşur.
- Denklemi çözelim: $2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$.
- $\frac{5}{2}$ sayısı bir rasyonel sayıdır ($\mathbb{Q}$), çünkü iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilir.
- Bu küme $\{\frac{5}{2}\}$'dir ve bir elemanı vardır. Boş küme değildir.
- D) $\{x : x > 0, x \in \mathbb{N}\}$
- Bu küme, $0$'dan büyük olan ve bir doğal sayı olan $x$ değerlerinden oluşur.
- Doğal sayılar kümesi ($\mathbb{N}$) genellikle $\{1, 2, 3, \ldots\}$ veya $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ olarak tanımlanır. Her iki tanımda da $0$'dan büyük doğal sayılar mevcuttur.
- Örneğin, $1, 2, 3, \ldots$ gibi sayılar bu koşulu sağlar.
- Bu küme $\{1, 2, 3, \ldots\}$'dir ve sonsuz elemanı vardır. Boş küme değildir.
- E) $\{x : x + 3 = 3, x \in \mathbb{N}\}$
- Bu küme, $3$ ile toplandığında $3$ eden ve bir doğal sayı olan $x$ değerlerinden oluşur.
- Denklemi çözelim: $x + 3 = 3 \implies x = 3 - 3 \implies x = 0$.
- Doğal sayılar kümesinin tanımına göre $0$ bir doğal sayı olabilir ($\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$). Bu durumda $0 \in \mathbb{N}$'dir.
- Bu küme $\{0\}$'dır ve bir elemanı vardır. Boş küme değildir. (Eğer $\mathbb{N}$ kümesi $0$'ı içermeseydi, bu küme boş küme olurdu. Ancak genellikle bu tür sorularda tek bir doğru cevap beklendiği için $\mathbb{N}$'nin $0$'ı içerdiği kabul edilir.)
Yukarıdaki incelemelere göre, sadece A seçeneğindeki küme hiçbir eleman içermemektedir.
Cevap A seçeneğidir.
