Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, periyodik fonksiyon kavramını anlamamız ve verilen seçenekler arasından hangisinin bu tanıma uyduğunu bulmamız isteniyor. Haydi adım adım inceleyelim:
- Periyodik Fonksiyon Nedir?
- Bir fonksiyonun periyodik olması demek, belirli bir $T$ (periyot) değeri için, fonksiyonun tüm $x$ değerleri için $f(x+T) = f(x)$ eşitliğini sağlaması demektir.
- Basitçe ifade etmek gerekirse, periyodik bir fonksiyonun grafiği, belirli bir aralıkta kendini tekrar eder. Bu aralığın uzunluğuna periyot denir.
- Seçenekleri İnceleyelim:
- A) $f(x) = x^2$
- Bu bir parabol fonksiyonudur. Grafiği U şeklindedir.
- $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de artar (pozitif $x$ değerleri için) veya azalır (negatif $x$ değerleri için).
- Fonksiyonun değerleri belirli bir düzenle kendini tekrar etmez. Örneğin, $f(1) = 1$ iken, $f(x) = 1$ eşitliğini sağlayan başka bir $x$ değeri sadece $x=-1$'dir, ancak bu bir periyodik tekrar değildir. Bu nedenle $f(x) = x^2$ periyodik değildir.
- B) $f(x) = \sin(x)$
- Bu bir trigonometrik fonksiyondur. Sinüs fonksiyonunun grafiği dalgalı bir yapıya sahiptir.
- Sinüs fonksiyonu, her $2\pi$ radyanlık (veya $360^\circ$) aralıkta aynı değerleri tekrar eder. Yani, tüm $x$ değerleri için $\sin(x+2\pi) = \sin(x)$ eşitliği geçerlidir.
- Bu tanıma göre, $f(x) = \sin(x)$ periyodik bir fonksiyondur ve periyodu $T = 2\pi$'dir.
- C) $f(x) = e^x$
- Bu bir üstel fonksiyondur. Grafiği sürekli olarak artan bir eğridir.
- $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de sürekli olarak artar ve hiçbir zaman kendini tekrar etmez.
- Bu nedenle $f(x) = e^x$ periyodik değildir.
- D) $f(x) = x$
- Bu bir doğrusal fonksiyondur. Grafiği düz bir çizgidir.
- $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de sürekli olarak artar.
- Fonksiyonun değerleri kendini tekrar etmez. Bu nedenle $f(x) = x$ periyodik değildir.
- E) $f(x) = \ln(x)$
- Bu bir logaritmik fonksiyondur. Grafiği sürekli olarak artan bir eğridir (tanım kümesi $x > 0$ için).
- $x$ değeri arttıkça $f(x)$ değeri de sürekli olarak artar ve hiçbir zaman kendini tekrar etmez.
- Bu nedenle $f(x) = \ln(x)$ periyodik değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonunun periyodik fonksiyon tanımına uyduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
