gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonlar ve mutlak değer Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi mutlak değer fonksiyonudur?

A) $f(x) = x + 2$
B) $f(x) = |x - 1|$
C) $f(x) = x^2$
D) $f(x) = \sqrt{x}$

Sevgili öğrenciler, bu soruda mutlak değer fonksiyonunu tanımlamamız ve verilen seçenekler arasından hangisinin bu tanıma uyduğunu bulmamız isteniyor.

• Mutlak Değer Fonksiyonu Nedir?

  Mutlak değer fonksiyonu, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Bu nedenle, mutlak değer fonksiyonunun çıktısı (yani $y$ değeri veya $f(x)$ değeri) asla negatif olamaz; her zaman sıfır veya pozitif bir değerdir. Genel olarak, bir mutlak değer fonksiyonu $|g(x)|$ şeklinde gösterilir. Grafiği genellikle bir 'V' şeklindedir.

• Seçenekleri İnceleyelim:
  • A) $f(x) = x + 2$

    Bu bir doğrusal fonksiyondur. Grafiği düz bir çizgidir. $x$ değerine bağlı olarak hem pozitif hem de negatif değerler alabilir. Örneğin, $x = -5$ için $f(-5) = -5 + 2 = -3$ olur. Mutlak değer fonksiyonunun çıktısı asla negatif olamayacağı için bu seçenek mutlak değer fonksiyonu değildir.

  • B) $f(x) = |x - 1|$

    Bu bir mutlak değer fonksiyonudur. Fonksiyonun kuralı, içerideki ifadenin ($x - 1$) mutlak değerini almaktır. Mutlak değer işlemi sonucunda elde edilen değer her zaman sıfır veya sıfırdan büyük (pozitif) olacaktır. Örneğin:

    • $x = 0$ için $f(0) = |0 - 1| = |-1| = 1$
    • $x = 1$ için $f(1) = |1 - 1| = |0| = 0$
    • $x = 2$ için $f(2) = |2 - 1| = |1| = 1$

    Görüldüğü gibi, fonksiyonun çıktıları asla negatif değildir ve mutlak değer sembolünü içermektedir. Bu, mutlak değer fonksiyonunun temel özelliğidir.

  • C) $f(x) = x^2$

    Bu bir parabolik (kuadratik) fonksiyondur. Grafiği bir paraboldür. Her ne kadar $x^2$ ifadesi de her zaman sıfır veya pozitif olsa da, mutlak değer fonksiyonunun genel gösterimi ve grafiği farklıdır. Mutlak değer fonksiyonunun grafiği 'V' şeklindeyken, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun grafiği 'U' şeklindedir.

  • D) $f(x) = \sqrt{x}$

    Bu bir karekök fonksiyonudur. Gerçek sayılarda tanımlı olması için $x \ge 0$ olmalıdır. Bu fonksiyonun çıktıları da her zaman sıfır veya pozitiftir. Ancak, karekök fonksiyonunun grafiği ve matematiksel tanımı mutlak değer fonksiyonundan farklıdır. Örneğin, $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonu sadece pozitif $x$ değerleri için tanımlıdır (gerçek sayılarda), mutlak değer fonksiyonu ise tüm gerçek $x$ değerleri için tanımlıdır.

Bu karşılaştırmalar sonucunda, mutlak değer sembolünü içeren ve tanımına uyan tek fonksiyon B seçeneğindeki $f(x) = |x - 1|$ fonksiyonudur.

Cevap B seçeneğidir.