MSÜ'de Geometri Netlerini Artırma: Üçgenler Özel Ders Test 1

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezi ve $A(ABC) = 36$ cm$^2$ ise, $A(GBC)$ kaç cm$^2$'dir?

A) 9
B) 12
C) 18
D) 24

Bir $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezi olduğunda, ağırlık merkezinin üçgenin alanını nasıl böldüğünü hatırlayarak soruyu adım adım çözelim.

• 1. Ağırlık Merkezi (Centroid) ve Alan İlişkisi:

  Bir üçgende ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır. Ağırlık merkezinin en önemli özelliklerinden biri, üçgeni üç eşit alana sahip küçük üçgenlere ayırmasıdır. Yani, $ABC$ üçgeninde $G$ ağırlık merkezi ise, $A(GAB)$, $A(GBC)$ ve $A(GCA)$ üçgenlerinin alanları birbirine eşittir.

  Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:

  $A(GAB) = A(GBC) = A(GCA)$

  Bu üç küçük üçgenin alanları toplamı, büyük $ABC$ üçgeninin alanına eşittir:

  $A(ABC) = A(GAB) + A(GBC) + A(GCA)$

• 2. Verilen Bilgileri Kullanma:

  Soruda bize $A(ABC) = 36$ cm$^2$ olarak verilmiş.

  Yukarıdaki alan özelliğini kullanarak bu bilgiyi denkleme yerleştirelim. Madem $A(GAB) = A(GBC) = A(GCA)$, o zaman $A(ABC)$'yi sadece $A(GBC)$ cinsinden yazabiliriz:

  $A(ABC) = A(GBC) + A(GBC) + A(GBC)$

  $A(ABC) = 3 \cdot A(GBC)$

• 3. $A(GBC)$ Alanını Hesaplama:

  Şimdi $A(ABC)$ değerini yerine koyalım:

  $36 = 3 \cdot A(GBC)$

  $A(GBC)$'yi bulmak için denklemin her iki tarafını $3$'e bölelim:

  $A(GBC) = \frac{36}{3}$

  $A(GBC) = 12$ cm$^2$

Buna göre, $GBC$ üçgeninin alanı $12$ cm$^2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.